内容发布更新时间 : 2024/6/24 3:15:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《基本不等式》教学设计方案

人教版（A版） 普通高中课程标准试验教科书必修第五册

【教学目标】

1、知识与技能目标

a?b（1）掌握基本不等式ab?,认识其运算结构；

2（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标

（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标

（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。

【能力培养】

培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】

a?b应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?的

2证明过程。

【教学难点】

a?b基本不等式ab?等号成立条件。

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【教学方法】

教师启发引导与学生自主探索相结合

【教学工具】

课件辅助教学、实物演示实验 【教学过程设计】

一、 创设情景，引入新课

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相 等和不等关系？

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赵爽弦图

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形

的边长为a2?b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为a2?b2。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2?b2?2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2?b2?2ab。

2．得到结论：一般的，如果a,b?R,那么a2?b2?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 a2?b2?2ab?(a?b)2 当a?b时,(a?b)2?0,当a?b时,(a?b)2?0,

所以，(a?b)2?0，即(a2?b2)?2ab. 4．基本不等式

1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得a?b?2ab，通常我们把上式写作：ab?a?b(a>0,b>0) 2a?b 22）从不等式的性质推导基本不等式ab?用分析法证明：

要证

a?b?ab (1) 22

只要证 a?b?2ab (2) 要证（2），只要证 a+b-2ab?0 （3） 要证（3），只要证 （a-b）2 ?0 （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

a?b3）理解基本不等式ab?的几何意义

2如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。

a?b你能利用这个图形得出基本不等式ab?的几何解

2释吗？

a?b引导学生发现：表示圆的半经，ab表示半弦长CD,

2a?b得到不等关系：ab≤(a?0,b?0)

2易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab.

a?ba?b，显然，它大于或等于CD，即?ab，其中当且仅当22点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

几何意义：半弦长不大于半径长。

a?b我们称ab为正数a,b的几何平均数，称为正数a,b的算术平均数。

2代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 5.随堂练习

已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

a?b分析：对于此类题目，选择定理：?ab（a＞0，b＞0）灵活变形，

2可求得结果。

解：∵a，b，c都是正数 这个圆的半径为

∴a＋b≥2ab＞0

b＋c≥2bc＞0 c＋a≥2ac＞0

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. 【课时小结】

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