内容发布更新时间 : 2024/5/6 14:49:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

四、导数的应用

1. 验证函数f(x)?lnsinx 在[

π5π,]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的?，使66f?(?)?0.

解：f(x)?lnsinx在???5????5?,?上连续，在?,?66??66??上可导，且 ?????5??f???f????ln2，显然满足罗尔定理的三个条件. ?6??6?f'?x??cosx?，若令f'????0，则有??. sinx2

22. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ

(1)f(x)?ex?1, ??1,1?

解：f??1??f(1)?e?1，且连续、可导，满足罗尔定理中的三个条件. f'?x??2xex，若令f'????0，则有??0.

2(2)f(x)?x?1, ?0,2?

解：函数在x?1点的导数不存在，故不满足罗尔定理的条件.

?sinx,0?x?π(3)f(x)?? ?0,π?

1,x?0?解：函数在x?0点不连续，故不满足罗尔定理的条件.

3. 不用求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根，并指出它们所在的区间.

解：f(1)?f(2)?0，根据罗尔定理知：存在?1?(1,2)，使得f'(?1)?0;

同理f(2)?f(3)?0，根据罗尔定理知：存在?2?(2,3)，使得f'(?2)?0; 又由于f'(x)是二次方程，最多只有两个不相等的实根， 故f'(x)?0的两个实根分别为?1?(1,2)，?2?(2,3).

4. 验证拉格朗日中值定理对函数f(x)?x?2x在区间[0,1]上的正确性. 解：割线的斜率k?3f(1)?f(0)?3，

1?02 f'(x)?3x?2，若令f'????3，则有??3. 35. 已知函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?0,试证：在(a,b)内至少存在一点?，使得f(?)?f?(?)?0,??(a,b)

证明：构造函数F(x)?ef(x)，显然F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， 且F(a)?F(b)?0，根据罗尔定理：

在(a,b)内至少存在一点?，使得F'(?)?0， 进而得到f(?)?f?(?)?0,??(a,b). 6. 若方程a0xn?a1xn?1?x?an?1x?0有一个正根x0,证明方程 ?an?1?0必有一个小于x0的正根.

a0nxn?1?a1(n?1)xn?2?nn?1解：令f(x)?a0x?a1x???an?1x，

方程a0xn?a1xn?1??an?1x?0有正根x0，即f(x0)?0，

同时f(0)?0，得到f(x0)?f(0)，根据罗尔定理，存在??(0,x0)，使得f'(?)?0， 即a0nxn?1?a1(n?1)xn?2??an?1?0必有一个小于x0的正根.

7. 设f(a)?f(c)?f(b),且a?c?b,f??(x)在?a,b?上存在，证明在?a,b?内至少存在一点?，使f??(?)?0

解：f(a)?f(c)，根据罗尔定理：存在?1?(a,c)，使得f'(?1)?0;

f(b)?f(c)，根据罗尔定理：存在?2?(c,b)，使得f'(?2)?0;

由f\(x)在[a,b]上存在，得到f'(x)在[a,b]上连续且可导，又f'(?1)?f'(?2)?0，根据罗尔定理知：存在??(?1,?2)，使得f\(?)?0. 8. 利用洛必达法则求下列极限. (1) limx??3sin3x?? tan5x5ex?x?11(2) lim?

x?0x(ex?1)2xm?ammm?n(3) limn?a

x?ax?ann(4)limsinxlnx ?0 ?x?03ex1(5) lim(?x)?

x?0xe?12(6) lim(1?sinx)?e

x?01x2(7) lim(arctanx)x?e?

x???π(8)limxe ???

x?012x2?2(9) lim(3x3?x2?x?1?x)?x???1 3

?1?(10) lim?(1?x)??ex?0e??9

1x1x?12

x2?mx?n?5,求常数m,nlimx?1x?1x2?mx?n2x?m?lim?2?m?5，得到m?3; 解：由limx?1x?1x?11 由limx?mx?n?1?m?n?0，得到n??4.

x?12?f(x),x?0?10．设f(x)具有二阶连续导数，且f(0)?0,试证g(x)? ?x

??f'(0),x?0解：当x?0时，g'(x)?

f'(x)x?f(x)，显然g'(x)连续; 2xf(x)?f'(0)洛必达法则f'(x)?f'(0)导数定义1x当x?0时，g'(0)?lim?lim?f\(0);

x?0x?0x2x2f'(x)x?f(x)f\(x)x?f'(x)?f'(x)f\(x)1limg'(x)?lim?lim?lim?f\(0)2x?0x?0x?0x?02x22x g'(x)在x?0点的函数值和极限值相等，故在x?0点也连续;

综上得到g(x)可导，且导函数连续.

11．求下面函数的单调区间与极值

(1)f(x)?2x?6x?18x?7

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