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2004年考研数学（三）真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若limsinx(cosx?b)?5，则a =______，b =______.

x?0ex?a(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) 0，则

?2f??u?v.

11?x2xe,??x??22，则2f(x?1)dx?(3) 设f(x)???121??1,x?2?.

222(4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x3?x1)的秩为 .

(5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?_______.

22(6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ),X1,X2,?Xn1和 Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则

22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?i?1j?1?? E???n1?n2?2??????.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，

把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数f(x)?|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界. 2x(x?1)(x?2)(B) (0 , 1).

(C) (1 , 2).

(D) (2 , 3). [ ]

(A) (1 , 0). (8) 设f (x)在(

1??f(),x?0 , +)内有定义，且limf(x)?a， g(x)??x，则

x????0,x?0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.

(C) x = 0必是g(x)的连续点.

(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ ] (9) 设f (x) = |x(1 x)|，则

(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.

(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：

?? (1) 若

u2n)收敛，则n?(u2n?1??1?un收敛.

n?1?? (2) 若

1000收敛.

n?un收敛，则?1?un?n?1

(3) 若limun?1??1，则n??un?un发散. n?1??? (4) 若

(un?vn)收敛，则n??1?un，?1?vn都收敛.

nn?1则以上命题中正确的是

(A) (1) (2).

(B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). (11) 设f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (a). (B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0.

(D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.

[ ]

(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有

(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a. (C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0. [ ] (13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*?0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Ax?b的

互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.

(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.

[ ](14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α,

若P{|X|?x}?α, 则x等于 (A) uα. (B) u. (C) α. (D) u1?α. [ ]

21?αu1?22三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)

求1cos2xlim?0(sin2x?xx2). [ ]

(16) (本题满分8分)

求

222222(x?y?y)d?，其中D是由圆和x?y?4(x?1)?y?1所围成的 ??D平面区域(如图).

(17) (本题满分8分)

设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足 ?a证明：

xf(t)dt??g(t)dt，x [a , b)，?f(t)dt??g(t)dt.

aaabbxbb?axf(x)dx??axg(x)dx.

(0 , 20)，Q为需求量.

(18) (本题满分9分)

设某商品的需求函数为Q = 100 5P，其中价格P

(I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)； (II) 推导

dR?Q(1?Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时， dP降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数

x4x6x8????2?42?4?62?4?6?8的和函数为S(x). 求：

(I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. (20)(本题满分13分)

(???x???)

TTTT 设α1?(1,2,0), α2?(1,α?2,?3α), α3?(?1,?b?2,α?2b), β?(1,3,?3),

试讨论当a,b为何值时,

(Ⅰ) β不能由α1,α2,α3线性表示;

(Ⅱ) β可由α1,α2,α3唯一地线性表示, 并求出表示式;

(Ⅲ) β可由α1,α2,α3线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n阶矩阵