内容发布更新时间 : 2024/9/22 0:54:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
习题3
3-1．如图，一质点在几个力作用下沿半径为R?20m的圆周运动，其中有一恒
???力F?0.6iN，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。
解：本题为恒力做功，考虑到B的坐标为（?R，R）， ∴?r?rB?rA??20i?20j，再利用：A?F??r，
yBAO??????????有：A?0.6i?(?20i?20j)??12（焦耳）
xF
3-2．质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？
?????2解：由功的定义：A?F??r，题意：r?5ti?0.5j
?????d2r????r2?4?r(4)?r(2)?60i，F?m2?0.5?10i?5i
dt∴A?5i?60i?300J。
3-3．劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。
解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，
则：F?kx，选向上为正向。
当小球刚脱离地面时：mg?kxmax，有：xmax?由做功的定义可知：A?
??mg， km2g2?。
2k?xmax01kxdx?kx22mgk03-4．如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：Af直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。
A?mR?Bv2解：求在B点的速度：N?G?m，
R121mv?(N?G)R 2212由动能定理： mgR?Af?mv?0
211∴Af?(N?G)R?mgR?(N?3mg)R
22可得：
??23-5．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为F?(?52.8x?38.4x)i，
?其中F和x单位分别为N和m。
（1）计算当将弹簧由x1?0.522m拉伸至x2?1.34m过程中，外力所做之功；
（2）此弹力是否为保守力? 解：（1）由做功的定义可知：
x2A??x1??1.34F?dx??(?52.8x?38.4x2)dx
0.522??26.4(x22?x12)?12.6(x23?x13)?69.2J ??（2）∵F(x)?F(x)i，按保守力的定义：
??B??A??F(x)?dl?F(x)i?dr?F(x)i?dr ???A?B??BB????????F(x)i?(dxi?dyj?dzk)??F(x)i(dxi?dyj?dzk)?0
AA∴该弹力为保守力。
???23-6．一质量为m的物体，在力F?(ati?btj)的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t此力所做功的功率为多少。
??解：由P?F?v，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
????1?F111?v??dt??(ati?bt2j)dt?(at2i?bt3j)
mmm23所以功率为：
????11?1?111P?F?v?(ati?bt2j)?(at2i?bt3j)?(a2t3?b2t5)。
m23m23
23-7．一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为：Ep??ax?bxy?cz。 （1）求作用力F；（2）当质点由原点运动到x?3、y?3、z?3位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中Ep的单位为J，x、y、z的单位为m，F的单位为N。
??解：（1）由力和势能的关系：F???EP有：
??????????2F??(i?j?k)(?ax?bxy?cz)?(2ax?by)i?bxj?ck
?x?y?z（2）由于该力场是有势场，那么力是保守力，保守力做功与路径无关，所以可取
????一个比较简单的积分路径：r?xi?yj?zk，则：
??(3，3，3)?(3，3，3)?????A??F?dr??[(2ax?by)i?bxj?ck]?(dxi?dyj?dzk)
(0，0，0)(0，0，0)??(3，3，3)(0，0，0)[(2ax?by)dx?bxdy?cdz]?ax230?byx3，30，0?cz30?9a?9b?3c
3-8．轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为m的重物。已知弹簧原长为l0，劲度系数为k，重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x0，如图所示。取x轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置O?；力的平衡位置O。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置P时系统的总势能。 解：（1）取弹簧原长位置O'为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P时系统的总势能：
1EP??mg(x?x0)?k(x?x0)2，
2（2）取力的平衡位置O为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P112时系统的总势能：EP??mgx?（kx?x0）?kx02，而mg?kx0
221112∴EP??mgx?（kx?x0）?kx02?kx2。
222