内容发布更新时间 : 2024/11/19 19:37:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

习题3

3-1．如图，一质点在几个力作用下沿半径为R?20m的圆周运动，其中有一恒

???力F?0.6iN，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。

解：本题为恒力做功，考虑到B的坐标为（?R，R）， ∴?r?rB?rA??20i?20j，再利用：A?F??r，

yBAO??????????有：A?0.6i?(?20i?20j)??12（焦耳）

xF

3-2．质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？

?????2解：由功的定义：A?F??r，题意：r?5ti?0.5j

?????d2r????r2?4?r(4)?r(2)?60i，F?m2?0.5?10i?5i

dt∴A?5i?60i?300J。

3-3．劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。

解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，

则：F?kx，选向上为正向。

当小球刚脱离地面时：mg?kxmax，有：xmax?由做功的定义可知：A?

??mg， km2g2?。

2k?xmax01kxdx?kx22mgk03-4．如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。

分析：Af直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。

A?mR?Bv2解：求在B点的速度：N?G?m，

R121mv?(N?G)R 2212由动能定理： mgR?Af?mv?0

211∴Af?(N?G)R?mgR?(N?3mg)R

22可得：

??23-5．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为F?(?52.8x?38.4x)i，

?其中F和x单位分别为N和m。

（1）计算当将弹簧由x1?0.522m拉伸至x2?1.34m过程中，外力所做之功；

（2）此弹力是否为保守力? 解：（1）由做功的定义可知：

x2A??x1??1.34F?dx??(?52.8x?38.4x2)dx

0.522??26.4(x22?x12)?12.6(x23?x13)?69.2J ??（2）∵F(x)?F(x)i，按保守力的定义：

??B??A??F(x)?dl?F(x)i?dr?F(x)i?dr ???A?B??BB????????F(x)i?(dxi?dyj?dzk)??F(x)i(dxi?dyj?dzk)?0

AA∴该弹力为保守力。

???23-6．一质量为m的物体，在力F?(ati?btj)的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t此力所做功的功率为多少。

??解：由P?F?v，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：

????1?F111?v??dt??(ati?bt2j)dt?(at2i?bt3j)

mmm23所以功率为：

????11?1?111P?F?v?(ati?bt2j)?(at2i?bt3j)?(a2t3?b2t5)。

m23m23

23-7．一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为：Ep??ax?bxy?cz。 （1）求作用力F；（2）当质点由原点运动到x?3、y?3、z?3位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中Ep的单位为J，x、y、z的单位为m，F的单位为N。

??解：（1）由力和势能的关系：F???EP有：

??????????2F??(i?j?k)(?ax?bxy?cz)?(2ax?by)i?bxj?ck

?x?y?z（2）由于该力场是有势场，那么力是保守力，保守力做功与路径无关，所以可取

????一个比较简单的积分路径：r?xi?yj?zk，则：

??(3，3，3)?(3，3，3)?????A??F?dr??[(2ax?by)i?bxj?ck]?(dxi?dyj?dzk)

(0，0，0)(0，0，0)??(3，3，3)(0，0，0)[(2ax?by)dx?bxdy?cdz]?ax230?byx3，30，0?cz30?9a?9b?3c

3-8．轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为m的重物。已知弹簧原长为l0，劲度系数为k，重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x0，如图所示。取x轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置O?；力的平衡位置O。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置P时系统的总势能。 解：（1）取弹簧原长位置O'为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P时系统的总势能：

1EP??mg(x?x0)?k(x?x0)2，

2（2）取力的平衡位置O为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P112时系统的总势能：EP??mgx?（kx?x0）?kx02，而mg?kx0

221112∴EP??mgx?（kx?x0）?kx02?kx2。

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