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人教版小学五年级数学下册同步复习与测试讲义

第三章 长方体和正方体

【知识点归纳总结】 1. 长方体的特征

1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．

2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 【经典例题】

1．长方体中至少有（ ）条棱的长度相等． A．2

B．4

C．6

D．8

【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面多少长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），一般情况长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等．据此解答． 【解答】解：长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等． 答：长方体中至少有4条棱的长度相等． 故选：B．

【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用． 2. 正方体的特征 ①8个顶点．

②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 【经典例题】

2．在一个正方体中，最多能找到（ ）组互相垂直的线段．

A．12 B．18 C．24

【分析】根据互相垂直的定义：在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此

进行解答．

【解答】解：据分析解答如下：

垂直：AB⊥AD AB⊥BC AB⊥AE AB⊥BF； BC⊥CD BC⊥BF BC⊥CG； CD⊥AD CD⊥DH CD⊥CG； AD⊥DH AD⊥AE BF⊥FG BF⊥FE AE⊥FE AE⊥EH； CG⊥FG CG⊥GH； DH⊥GH DH⊥HE； FG⊥GH GH⊥EH HE⊥EF EF⊥FG． 故选：C．

【点评】本题考查的是垂线的定义，熟知正方体的性质是解答此题的关键． 3. 长方体和正方体的表面积 长方体表面积：六个面积之和．

公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S=6a2．（a表示棱长） 【经典例题】

3．如下图，用三个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了100dm2，原来每个正方体的表面积是 150 dm2，长方体的表面积是 350 dm2．

【分析】三个正方体一拼成一个长方体减少了4个面，减少的面积就是100dm2，可以求出一个面的面积，即100dm2除以4等于25dm2，再根据正方体的表面积公式S＝6a2进行计算，再用一个正方体的表面积

乘以3减去100dm2可求长方体的表面积． 【解答】解：100÷4＝25（dm2） 25×6＝150（dm2） 150×3﹣100 ＝450﹣100 ＝350（dm2）

答：原来每个正方体的表面积是150dm2，长方体的表面积350dm2． 故答案为：150，350．

【点评】本题是一道关于立体图形的拼接问题，考查了学生长方体的表面积公式及正方体的表面积公式的灵活运用．

4. 长方体、正方体表面积与体积计算的应用 （1）长方体：

底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．

长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．

长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．

如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表=2（ab+ah+bh） 长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．

如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V=abh

（2）正方体：

长宽高都相等的长方体，叫做正方体．

正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．

正方体的表面积：六个面积之和．

如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表=6a2 正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．

如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V=a3 【经典例题】

4．礼堂里有一根用作支撑的长方体柱子，底面是一个边长为0.4米的正方形，柱子高4.5米．油漆这根柱子，求总共油漆面积的算式是0.4×4.5×4． √ ．（判断对错）

【分析】要油漆这根柱子，两个底面接触地面和楼层，只求出每根柱子的4个侧面即可，侧面的长就是高4.5米，宽是底面的边长0.4米，代入长方形面积公式“长×宽”，然后乘4个面，即可得解． 【解答】解：0.4×4.5×4 ＝1.8×4

＝7.2（平方米）．

答：油漆面积是7.2平方米． 故答案为：√．

【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题． 5. 长方体和正方体的体积

长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长） 【经典例题】

5．计算下面图形的体积和表面积．

【分析】（1）长方体的长、宽、高均已知，根据长方体的体积计算公式“V＝abh”即可求出这个长方体的体积；根据长方体的表面积计算公式“S＝2（ah+bh+ab）”即可求出这个长方体的表面积． （2）这个正方体的棱长已知，根据正方体的体积计算公式“V＝a3”即可求出这个正方体的体积；根据正方体的表面积计算公式“S＝6a2”即可求出这个正方体的表面积． 【解答】解：（1）15×8×7 ＝120×7 ＝840

（15×7+8×7+15×8）×2 ＝（105+56+120）×2 ＝281×2 ＝562

答：这个长方体的体积是840，表面积是562． （2）3×3×3 ＝9×3 ＝27 32×6 ＝9×6 ＝54

答：这个正方体的体积是27，表面积是54．

【点评】解答此题的关键是记住并会运用长方体、正方体的体积、表面积计算公式．

【同步测试】

单元同步测试题

一．选择题（共10小题）

1．一个正方体的棱长总和是24cm，每条棱长（ ）