空间解析几何例题 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/25 12:20:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第4章 向量代数与空间解析几何习题解答

习题4.1

一、计算题与证明题

1.已知|a|?1, |b|?4, |c|?5, 并且a?b?c?0. 计算a?b?b?c?c?a. 解:因为|a|?1, |b|?4, |c|?5, 并且a?b?c?0 所以a与b同向,且a?b与c反向 因此a?b?0,b?c?0,c?a?0 所以a?b?b?c?c?a?0

2.已知|a?b|?3, |a?b|?4, 求|a|?|b|. 解:|a?b|?a?bcos??3 (1)

|a?b|?a?bsin??4 (2)

2(1)2??2?得?a?b??25

2所以 a?b?5

3.设力F??2i?3j?5k作用在点A(3,6,1), 求力F对点B(,1,7,?2)的力矩的大小. 解:因为A?3,6,1?,B?1,7,?2? 所以AB???2,1?3?

力矩M?AB?F???2i?j?3k????2i?3j?5k?

1?3?2?3?21??21?3?i?j?k 35?25?23

?235?14i?16j?4k所以,力矩的大小为

ijkM?142?162???4??613

24.已知向量x与a(,1,5,?2)共线, 且满足a?x?3, 求向量x的坐标. 解:设x的坐标为?x,y,z?,又a??1,5,?2?

则a?x?x?5y?2z?3 (1)

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又x与a共线,则x?a?0 即

yzxyxyxyz?i?j?k5?21?215

15?2???2y?5z?i??z?2x?j??5x?y?k?0所以

ijk??2y?5z?2??z?2x?2??5x?y?2?0

即29x2?5y2?26z2?20yz?4xz?10xy?0 (2) 又x与a共线,x与a夹角为0或?

cos0?1?x?ax?y?z?1?5???2?222222222?3x?y?z?30222

整理得 x?y?z?3 (3) 10联立?1?、?2?、?3?解出向量x的坐标为??111?,,?? ?1025?5.用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平 分, 则该四边形为平行四边形.

证明:如图所示,因为平行四边形ABCD的对角线 互相平分,则有

BM?ND,CN?MA

由矢量合成的三角形法则有BA?BM?MA

CD?CM?MD?MA?BM?BM?MA

所以BA?CD

即BA平行且等于CD

四边形ABCD是平行四边形

6.已知点A(3,8,7), B(?1,2,?3)求线段AB的中垂面的方程. 解:因为A?3,8,7?,B(?1,2,?3)

AB中垂面上的点到A、B的距离相等,设动点坐标为M?x,y,z?,则由MA?MB得

?x?3?2??y?8?2??z?7?2化简得2x?3y?5z?27?0

??x?1?2??y?2?2??z?3?2

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这就是线段AB的中垂面的方程。

7.向量a, b, c具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a, b的坐标分别为

,1,0)和(0,1,1), 求向量c的坐标.

解:a?b?c?r且它们两两所成的角相等,设为? 则有a?b?1?0?1?1?0?1?1 则cos??a?b1a?b?r2 设向量c的坐标为?x,y,z?

则a?c?1?x?1?y?0?z?x?y?a?bcos??r?r?1r2?1 b?c?0?x?1?y?1?z?y?z?b?ccos??r?r?1r2?1 c?x2?y2?z2?r?12?12?02?2

所以x2?y2?z2?2 (3)

?x??1?x?1??3联立(1)、(2)、(3)求出??y?0或??y?4

??z?1?3???z??13所以向量c的坐标为?1,0,1?或???1,4,?1???333?

8.已知点A(3,6,1), B(2,?4,1), C(0,?2,3), D(?2,0,?3), (1)

求以AB, AC, AD为邻边组成的平行六面体的体积. (2) 求三棱锥A?BCD的体积. (3) 求?BCD的面积.

(4) 求点A到平面BCD的距离.

解:因为A?3,0,1?,B?2,?4,1?,C?0,?2,3?,D??2,0,?3? 所以AB???1,?10,0?

AC???3,?8,2? AD???5,?6,?4?

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