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---------------- ---------在--------------------此 _______--------------------__卷____号证考准 -------------------- 上 _____________--------------------__答_名姓--------------------题--------------------无--------------------效绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A?{x|2?x?4}，B?{x|(x?1)(x?3)?0}，则AB? （ ）A．（1,3） B．（1,4） C．（2,3） D．（2,4） 2．若复数z满足z1?i=i，其中i为虚数单位，则z=

（ ）A．1?i

B．1?i

C．?1?i D．?1?i 3．设a?0.60.6，b?0.61.5，c?1.50.6，则a，b，c的大小关系是

（ ）A．a＜b＜c

B．a＜c＜b

C．b＜a＜c

D．b＜c＜a

4．要得到函数y?sin(4x?π3)的图象，只需要将函数y?sin4x的图象

（ ）A．向左平移π12个单位 B．向右平移

π12个单位 C．向左平移π3个单位

D．向右平移π3个单位

5．若m?R，命题“若m?0，则方程x2?x?m?0有实根”的逆否命题是 （ ）A．若方程x2?x?m?0有实根，则m?0 B．若方程x2?x?m?0有实根，则m≤0 C．若方程x2?x?m?0没有实根，则m?0 D．若方程x2?x?m?0没有实根，则m≤0

数学试卷 第1页（共18页）

6．为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：

甲 乙 9 8 6 2 8 9 1 1 3 0 1 2 ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为

（ ）

A．①③ B．①④ C．②③

D．②④

7．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“?1≤log11(x?)≤1”发生的概率为

22

（ ）

A．

3B．

24 3 C．1D．13

4

2x8．若函数f(x)??12x?a是奇函数，则使f(x)?3成立的x的取值范围为

（ ）

A．(??,?1)

B．（?1,0）

C．（0,1）

D．(1,??)

9．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

（ ）

A．

22π B．

42π33 C．22π D．42π

10．设函数f(x)???3x?b, x＜1,若5?2x, x≥1.f(f(6))?4，则b?

（ ）

A．1 B．78

C．

34 D．12

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第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是_________.

?y?x≤1，12．若x，y满足约束条件??x?y≤3，则z=x+3y的最大值为_______.

??y≥1，13．过点P(1,3)作圆x2?y2?1的两条切线，切点分别为A，B，则PAPB?________.

14．定义运算“?”：x?y?x2?y2xy(x,y?R,xy?0).当x?0，y?0时，x?y?(2y)?x的最小值为__________.

15．过双曲线C:x2y2a2?b2?1(a?0,b?0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于

点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为___________.

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三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）

某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人） 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 （Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，

3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.

17．（本小题满分12分）

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cosB?33，sin(A?B)?69，ac?23，求sinA和c的值.

数学试卷 第4页（共18页）

18．（本小题满分12分）

如图，三棱台DEF—ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点. （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；

（Ⅱ）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.

19．（本小题满分12分）

已知数列{a1n}是首项为正数的等差数列，数列{a a}的前n项和为

n. nn?12n?1（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设b?aan?n?1? 2n，求数列{bn}的前n项和Tn.

数学试卷 第5页（共18页） 20．（本小题满分13分）

x?a)lnx，g(x)?x2设函数f(x)?(ex，已知曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直

线2x?y?0平行. （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f(x)?g(x)在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数m(x)?min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值），求m(x)的最大值.

21．（本小题满分14分）

平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2y23a2?b2?1(a?b?0)的离心率为2，且点

(3,12)在椭圆C上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

E:x2y2（Ⅱ）设椭圆4a2?4b2?1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y?kx?m交

椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.

（i）求|OQ||OP|的值；

（ii）求△ABQ面积的最大值.

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

数学（文科）答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题 1.【答案】C 【解析】B??x|(x?1)(x﹣3)?0???x|1?x＜3?，A??x|2?x?4?，?AB??x|2?x?3??(2,3).故选C. 【提示】求出集合B，然后求解集合的交集. 【考点】交集及其运算 2.【答案】A 【解析】由题意z?i(1?i)?1?i，所以，z?1?i，故选A. 【提示】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可. 【考点】复数代数形式的乘除运算 3.【答案】C 【解析】由题意可知1?a?0.60.6?b?0.61.5，c?1.50.6?1，可知：c?a?b.故选：C. 【提示】直接判断a，b的大小，然后求出结果. 【考点】不等式比较大小 4.【答案】B 【解析】因为函数y?sin???4x?π?3???sin???4???x?π?12???π????，要得到函数y?sin??4x?3??的图象，只需将函数y?sin4x的图象向右平移π12单位. 故选B. 【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可 【考点】函数y?Asin(?x??)的图象变换 5.【答案】D 数学试卷 第7页（共18页）

【解析】由逆否命题的定义可知：当m?N*，命题“若m?0，则方程x2?x?m?0有实根”的逆否命题是：若方程x2?x?m?0没有实根，则m?0.故选D. 【提示】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可. 【考点】四种命题间的逆否关系 6.【答案】B 【解析】由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为： 甲：26，28，29，31，31 乙：28，29，30，31，32； 可得：甲地该月14时的平均气温：15(26?28?29?31?31)?29， 乙地该月14时的平均气温：15(28?29?30?31?32)?30， 故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； 甲地该月14时温度的方差为：S2?12甲5 [(26?29)2?(28?29)?(29?29)2?(31?29)2?(31?29)2]?3.6， 乙地该月14时温度的方差为：S21乙?5 [(28?30)2?(29?30)2?(30?30)2?(31?30)2?(32?30)2]?2， 故S22甲?S乙，所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温标准差.故选B. 【提示】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、及方差可得答案. 【考点】命题的真假判断与应用 7.【答案】A 【解析】利用几何概型，其测度为线段的长度. ?1?log1?2??x?1?2???1，?12?x?1?2，解可得，?12?x?32.0?x?2，?0?x?32， 3?所求的概率为：P?22?34. 故选A.

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【提示】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间[0,2]的长度求比值即得. 【考点】几何概型 8.【答案】C 【解析】f(x)?2x?12?x?12x?12x?a是奇函数，?f(?x)??f(x)，即2?x?a?a?2x，整理可得1?2x1?2x1?a2x?a?2x， ?1?a2x?a?2x，?a?1，?f(x)?2x?12x?1. f(x)?2x?12x?1222x?1?3，?2x?1?3?0，整理可得?22x?1?0，?1?2x?2，解可得0?x?1.故选C. 【提示】由f(x)为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式. 【考点】函数奇偶性的性质，函数单调性的性质 9.【答案】B 【解析】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体. V?2?13Sh?13πR2h?2?1 3π(2)2?2?42π3故选B. 【提示】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 10.【答案】D 【解析】函数f(x)???3x?b，x?1，若f?f??2x，x?1??f??5???6?????4，可得?5?2?b????4，若52?b?1，

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