内容发布更新时间 : 2024/5/1 20:57:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

伴随矩阵的性质及其应用

摘要：

伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。 (1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m重伴随矩阵的相应的性质。 本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质

1、 伴随矩阵的定义

?a11?a?21定义1.设Aij是矩阵A=???????an1?A11?A?21A*=???????An1A12A22??An2a12a22??an2??a1n???a2n?????中元素aij的代数余子式，则矩阵

??????ann????A1n???A2n?????称为A的伴随矩阵。

??????Ann??定义2.设A为n阶方阵，如果有矩阵B满足AB=BA=E,则B就称为A的逆矩阵，记为B=A?1。

*注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。

2、伴随矩阵的性质

性质1.设A为n阶方阵，AA

*=A*A=AE .

?d?0?**证明：由行列式按一列（行）展开:AA=AA=???????00??0?d??0????0?=dE, 其中d=A。

???0?000d???1A*性质2.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A非退化，即A?0,且A?.

AA*证明：若A≠0，则A可逆，且A= ；反之，若A可逆，则有AA-1 =E，所以|AA-1|=|A||A-1|=1

A?1故|A|=0.即A非退化。

性质3.1.若A为非奇异矩阵，则(A?1)*?(A*)?1. 证明：因为(kA)?1?1?1A，由性质2两边取逆可得 kA?A(A*)?1 故(A*)?1?另一方面，由性质2 有（A?1)?1?由(A?1)*?(A*)?1.

A， A1A?1(A?1)*?A(A?1)*?(A?1)*?1A， A?n，当秩A?n时　?性质3.2.设A为n阶矩阵，则秩A*=?1，当秩A?n?1时.

?0，当秩A?n?2时?证明：（1）当秩A=n时，则A?0,A是可逆的，即有A?1存在，所以 A*?AA?1.可见，秩A*=n。

反之，当秩A*=n时，A*可逆时，则有(A*)?1存在，所以

A=A(A*)?1,有A?0，因A=0，从而A*=0，这与秩A*=n矛盾，所以A?0，于是秩

（A）=n；

（2）当秩（A）=n?1时，则A必有一个n?1阶子式不为0，即A*中至少有一个元素不为0，所以，秩（A*）?1，另外秩（A）=n?1.则A=0，于是，AA*?AE?0. 从而，秩（A）+秩（A*）?n,故秩（A*)?1.这便知秩（A*）?1.

反之，若秩（A*）=1，则A*中必有一个Aij?0，即是说A必有一个n-1阶子式不为零，故秩A?n-1但

不能有秩（A）=n，否则，有秩A*=n，而n?2，这样与秩(A*)?1矛盾，所以秩（A）?n，则（A）

?n?1，因此,秩（A）=n?1.

（3）当秩（A）

该性质可以用来求A的伴随矩阵的秩，A的秩可以直接求出，通过A的秩可以直接求出A的伴随矩阵.

性质4.秩A*?秩A. 性质5.A*=An?1，其中A是n阶方阵（n?2）.

n证明：若A?0，? AA*=AE，? AA*=A?AA*=An?1n?A*=An?1

若A=0，这时秩A*?1，?A*=0，而也有A*=A综合得A*=An?1

.

性质6.若A是n阶非零实矩阵，A??A*,则A?0.

证明：用反证法，若A?0，则AA??AA*?AE?0，令一方面，设A=（aij）?Rn?n

?n??a1i?i?1???AA?=AA*=?????????2n???2?a2ii?1??????????????????=0 （2） ?????n2?ani??i?1?由（2）式主对角元素均等于0，可得aij?0,(i,j?1,2,?,n),此即A=0，这与非零矩阵的假设矛盾，?A?0.

?i1?条件A是实方阵中“实”字不能少，否则，比如设A=?,则A??A*,但A?0 ???1i?性质7. 令A,B为n阶矩阵，则 （1）A对称?A*对称；

（2）A正交?A*正交；