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河北省张家口一中高二数学选修2-3 随机变量及其分布 学案

【考纲知识梳理】 一、随机变量及其分布列 1．离散型随机变量

所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。 2．离散型随机变量的分布列及性质

（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,?,xi,?,xn,X取每一个值

xi(i?1,2,?,n)的概率P(X?xi)?pi，则表

X P x1 p1 x2 p2 ?? ??

xi pi ?? ?? xn pn 称为X的分布列，P(X?xi)?pi,i?1,2,?,n 为X的分布列。 （2）离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0（i?1,2,?,n）；②

?pi?1ni?1。

3．常见离散型随机变量的分布列 （1）两点分布

若随机变量X服从两点分布，即其分布列为（2）超几何分布

其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N,称分布列

X P 0 1 ?? *

m mn?mCMCN?M nCN0n?01n?1CMCNCMCN?M?M nnCNCN? 为超几何分布列。 二、二项分布及其应用

1．条件概率及其性质（1）条件概率的定义

A、B为两个事件，且P（A）＞0，P（B|A）=P（AB）/P（A） 若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。 （2）条件概率的性质 ①0≤P（B|A）≤1；

②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。 2．事件的相互独立性

如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。 3．独立重复试验与二项分布

那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）

kk=Cnp(1?p)n?k(k?0,1,2,?,n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n,p）

三、离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为

EX=x1p1+x2p2+??+xipi+??+xnpn为随机变量X的均值或数学期望DX=

?(x?EX)ii?1n2pi为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准差，记

作?X。

2．均值与方差的性质

（1）E(aX+b)=aEX+b(2)D(aX+b)=aDX.(a,b为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差

（1）若X服从两点分布，则EX=p，DX=p(1-p). （2）若X～B（n,p），则EX=np.DX=np(1-p). 四、正态分布 1.正态曲线及性质 （1）正态曲线的定义

?1??,?(x)?e2??(x??)22?22

,x?(??,??),

（2）正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x=?对称； ③曲线在x=?处达到峰值1 2??④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当?一定时，曲线随着?的变化而沿x轴平移

⑥当?一定时，曲线的形状由?确定。?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；，表示总体的分布越分散 ?越大，曲线越“矮胖”2．正态分布

（1）正态分布的定义及表示 P（a

????(x)dx,则称X为正态分布，记作N(?,?a,b2)。

（2）正态总体在三个特殊区间取值的概率值

①P（?-?＜X≤?+?）=0.6826; ②P(?-2?＜X≤?+2?)=0.9544; ③P(?-3?＜X≤?+3?)=0.9974. （3）3?原则

五、回归分析以及独立性检验的基本思想（见教材） 【热点难点精析】

一、离散型随机变量及其分布列

〖例〗一袋装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列。

（二）离散型随机变量分布列的性质 〖例〗设离散型随机变量X的分布列为

X P 0 0．2 1 0．1 2 0．1 3 0．3 4 m