内容发布更新时间 : 2024/5/22 20:07:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

复变函数复习提纲

(一)复数的概念

21.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i??1.

5）指数表示：z?ze，其中??argz。

i? (二) 复数的运算

1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：

1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则

注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：z?x2?y2；

z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；

?i?y?x?iyz1x?iyx?xyy1??x221?1?1?12221?2iz2x2?iyx?iy?xiy?xy???22?22222i?i?22）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；主值arg?z?是位于(??,?]中的幅角。

?yy1x22x。 122?2x2yy3）arg?z?与arctan之间的关系如下：

xy 当x?0, argz?arctan；

x?y?0,argz?arctan?? 当x?0,??y?0,argz?arctan??y??x； y??x2）若z1?z1e1,z2?z2e, 则

z1z2?z1z2e?13.乘幂与方根 1） 若

ni???2?；

zi???z1?1e?12? z2z2z?z(cos??isin?)?zei?n，则

4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+”号。

1

zn?z(cosn??isinn?)?zein?。

2） 若z?z(cos??isin?)?ze，则

i?n??2k???2k???z?z?cos?isin?nn??1n(k?0,1,2?n?1)（有n个

3）乘幂与幂函数：a?ebbLna(a?0)；zb?ebLnz(z?0)

b?1注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zb相异的值）

????bz。

（三）复变函数

1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2．复初等函数 1）指数函数：e?ezxeiz?e?izeiz?e?izsinzcosz,cosz?,tgz?,ctgz?4）三角函数：sinz? 2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且?sinz???cosz,?cosz????sinz

注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；（与实函数不同）

?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且

ez?e?zez?e?z,chz?4） 双曲函数 shz?； 22在zz平面内解析，且shz奇函数，chz是偶函数。sh,zch?e???ezzz。

注：e是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

???sh?z

c,?hz??c?hz。 shz3） 对数函数： Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2?)（多值函数）；

（四）解析函数的概念

主值：lnz?lnz?iargz。（单值函数）

1．复变函数的导数

Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且

1?lnz???；

z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

2

1）点可导：f??z0?=limf?z0??z??f?z0??z?z?0；

2）区域可导： f?z?在区域内点点可导。

2．解析函数的概念

1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解析； 2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，称f?z?在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的奇点；

?u?v?,?x?y此时f??z???u?v??； ?y?x?u?v?i。 ?x?x注： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则u?x,y?,v?x,y?在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶

3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为

连续偏导且满足C?R条件时，函数f(z)?u?iv一定是可导或解析的。

解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；

3．函数可导与解析的判别方法

（五）函数可导与解析的充要条件

1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）

1．函数可导的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导

2）利用充要条件 （函数以f?z??u?x,y??iv?x,y?形式给出，如第二章习

?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在?x,y? 处满足C?D条件：

题2）

?u?v?,?x?y?u?v?? ?y?x3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f?z?是以z的形式给出，如第二章习题3）

此时， 有f??z???u?v?i。 ?x?x2．函数解析的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析

（六）复变函数积分的概念与性质

1． 复变函数积分的概念：

?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，且满足C?D条件：

?f?z?dz?lim?f????zcn??kk?1nk，c是光滑曲线。

3

注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2． 复变函数积分的性质 1）

线，c1,c2,?cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以

c1,c2,?cn为边界的区域全含于D内，则

①

?cf?z?dz????1f?z?dz （c?1与c的方向相反）；

c?f?z?dz, 其中c与c??f?z?dz???ck?1cknk均取正向；

2） [?f?z???g?z?]dz???c?f?z?dz???g?z?dz,?,?是常数；

cc②

3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则3．复变函数积分的一般计算法 1）化为线积分：

?f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz。

cc1c2其中?由c及c??f?z?dz?0，

??1 (k?1,2,?n)所组成的复合闭路。

3．闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数f?z?沿闭曲线c的积分，

不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使

（常用于理论证明） ?f?z?dz??udx?vdy?i?vdx?udy；

ccc2）参数方法：设曲线c： z?z?t?(??t??)，其中?对应曲线c的起点，

f?z?不解析的奇点。

4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设f?z?在单连域B内解析，G?z?为f?z?在B内的一个原函数，则

?对应曲线c的终点，则 ?f?z?dz??f[z?t?]z?(t)dt。

c??（七）关于复变函数积分的重要定理与结论

1．柯西—古萨基本定理：设f?z?在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，

?z2z1f?z?dz?G?z2??G?z1?(z1,z2?B)

说明：解析函数f?z?沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。

则

??f?z?dz?0

c5。 柯西积分公式：设f?z?在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，

2．复合闭路定理： 设f?z?在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲

c的内部完全属于D，z0为c内任意一点，则??f?z?z?z0cdz?2?if?z0?

4

6．高阶导数公式：解析函数f?z?的导数仍为解析函数，它的n阶导数为

?cf?z?dz??z2z1f?z?dz?F?z2??F?z1?

??(z?z)c0f?z?dz?n?12?i?n?f?z0?n!(n?1,2?)

3）设f?z?在区域D内不解析

其中c为f?z?的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。 7．重要结论：

?f?z?dz?2?if?z0????cz?z?0? 曲线c内仅有一个奇点：?（f(z)在c内

f?z?2?i?n??dz?f?z0????c(z?z)n?1n!0?解析）

?2?i,1dz??n?1??(z?a)?0,c线）

8．复变函数积分的计算方法

n?0n?0。 （c是包含a的任意正向简单闭曲

? 曲线c内有多于一个奇点：

?f?z?dz（c内只有一个奇??f?z?dz???inck?1ck点zk） 或：

??f?z?dz?2?i?Res[f(z),zck?1nk]（留数基本定理）

1）若f?z?在区域D内处处不解析，用一般积分法

?cf?z?dz??f[z?t?]z??t?dt

??? 若被积函数不能表示成

f?z?(z?zo)n?1，则须改用第五章留数定理来计算。

2）设f?z?在区域D内解析， ? ?

（八）解析函数与调和函数的关系

1．调和函数的概念：若二元实函数?(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足

c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，??cf?z?dz?0 c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有

?2??2??2?0， 2?x?y5