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方法方加加减减第2讲 不等式选讲

高考定位 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.

真 题 感 悟

1.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图象；

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.

??1解 (1)f(x)＝?

x＋2，－2≤x<1，??3x，x≥1.

y＝f(x)的图象如图所示.

1－3x，x<－2，

(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.

和任何人呵呵呵 方法方加加减减2.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围. 解 (1)当a＝1时，f(x)＝－x2＋x＋4，

?2x，x>1，

g(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝?2，－1≤x≤1，

?－2x，x<－1.

①当x>1时，f(x)≥g(x解之得1

17－12. x－2)(x＋1)≤0，

－x2＋x＋4≥2x，

②当－1≤x≤1时，f(x)≥g(x则－1≤x≤1.

③当x<－1时，f(x)≥g(x解得－1≤x≤4，

x2－3x－4≤0，

又x<－1，∴不等式此时的解集为空集.

???

综上所述，f(x)≥g(x)的解集为?x?－1≤x≤

???

?17－1?

?. 2??

(2)依题意得：－x2＋ax＋4≥2在[－1，1]上恒成立. 则x2－ax－2≤0在[－1，1]上恒成立.

2

1－2≤0，?1－a·

则只需?解之得－1≤a≤1. 2

（－1）－a（－1）－2≤0，?

故a的取值范围是[－1，1].

考 点 整 合

1.绝对值不等式的性质

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立. 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.

2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c－c≤ax＋b≤c. (2)|ax＋b|≥cax＋b≥c或ax＋b≤－c.

和任何人呵呵呵 方法方加加减减3.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解. (2)利用零点分段法求解.

(3)构造函数，利用函数的图象求解. 4.基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立. a＋b

定理2：如果a，b为正数，则2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 定理3：如果a，b，c为正数，则成立.

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，a1＋a2＋…＋ann则≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.

n

热点一 绝对值不等式的解法

【例1】 (2018·衡水中学质检)已知函数f(x)＝|2x－2|＋|x＋3|. (1)求不等式f(x)≥3x＋2的解集；

1

(2)若不等式f(x)>x＋a的解集包含[2，3]，求实数a的取值范围. 解 (1)依题意得|2x－2|＋|x＋3|≥3x＋2，

当x<－3时，原不等式可化为2－2x－x－3≥3x＋2， 1

解得x≤－2，故x<－3；

当－3≤x≤1时，原不等式可化为2－2x＋x＋3≥3x＋2， 33

解得x≤4，故－3≤x≤4；

当x>1时，原不等式可化为2x－2＋x＋3≥3x＋2，无解. 3??－∞，综上所述，不等式f(x)≥3x＋2的解集为?. 4???

1

(2)依题意，|2x－2|＋|x＋3|>x＋a在[2，3]上恒成立，

1

则3x＋1－x>a在[2，3]上恒成立.

和任何人呵呵呵 a＋b＋c3

3≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号