内容发布更新时间 : 2024/5/9 21:39:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

所以只有在f(x)在x0处可导且在x0处取极值时才有f?(x)?0。 讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零点定理（结论部分为f(?)?0）、罗尔定理（结论部分为；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论方程根f(??)?0）

个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。

2. 理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：

A.若函数 若

f(x)在 区间I上的f??(x)?0，则f(x)在I上是凸的；

f(x)在I上的f??(x)?0，则f(x)在I上是凹的；

f(?x)?0且f??(x0)?0，则当f??(x0)?0时f(x0)为极大值，当f??(x0)?0B.若f(x)在点x0处有时f(x0)为极小值。

其中，A是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，f?(x)是f(x)的变化率，f??(x)是f?(x)的变化率。f(?x)?0可以说明函数是增函数； f??(x)?0可以说明函数f(x)的变化率在区间I上是递减的，包括以下两种可能：

同样，

f??(x)?0也只有两种对应图像：

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所以，当

f??(x)?0时，对应

或的函数图像，是凸的；

当

f??(x)?0时，对应

或的函数图像，是凹的。

相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的充要条件多了“f(?x)?0且

f??(x0)?0”，这从图像上也很容易理解：满足f??(x)?0的图像必是凸的，即

或f(?x)?0且f??(x0)?0时不就一定是

的情况吗。

对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。

关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公式表格： 求平面图形面积 s??baf(x)dx 求旋转体体积（可用绕x轴旋转体的体积Vx???b2af(x)dx， 微元法也可用公式） 绕y轴旋转体得体积Vy?2??baxf(x)dx 绕x轴旋转体的体积Vx???ba[f22(x)?f21(x)]dx， 绕y轴旋转体得体积Vy?2??bax[f2(x)?f1(x)]dx 已知平行截面面积求立体体积 V??bas(x)dx 求平面曲线的弧长 l??ba1?(y?)2dx 7

，当

1.6 高数第八章《无穷级数》

本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性”、“级数求和函数”和“函数的幂级数展开”。其中判敛是大、小题都常考的，在大题中一般作为第一问出现，求和与展开则都是大题。

对于级数判敛部分，主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四则运算性质。其中比较判敛法有一般形式和极限形式，使用比较判敛法一般形式有以下典型例子：

1. 已知级数?a2n收敛，判断级数

|an|n??2?|an|n2??的敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式

21，再应用比较法的一般形式即可判明。其实这种“知一判一”式的题目是有局限性的—?12(an?n2??)—若已知级数收敛，则所要求判敛的级数只能也是收敛的，因为只有“小于收敛级数的级数必收敛”这一条规则可用，若待判敛级数大于已知收敛级数，则结果无法判定。所以考研真题中一般只会出成选择题“已知某级数收敛，则下列级数中收敛的是（）”。

2． 上一种题型是“知一判一”，下面的例子则是给出级数某些性质要求判断敛散性，方法是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系，再应用比较法一般形式判断。举例如下：已知单调递减数列an满足

limx?0an?a,a?0，判断级数

1n1的敛散性。关键步骤是：由()an?1??an?11a?1?1得到

n，再利用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的题目一般也不会超出(an1?1)n?(a1?1)“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。

幂级数求和函数与函数的幂级数展开问题是重点内容，也是每年都有的必考题。在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法灵活”的知识点要倍加注意，对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“求和、展开”这样必出大题的知识点，更是要紧抓不放。因为这种知识点对“复习时间投入量”的要求接近于一个定值，认认真真搞明白以后，只要接着做适量的题目巩固就行了，有点“一次投入，终生受益”的意思，花时间来掌握很划算。

另外，“求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发现其大有规律可循。这种规律是建立在对6个关键的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。对此6个展开式的掌握必须像掌握重要定理

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一样，对条件、等式的左端和右端都要牢牢记住，不但要一见到三者中的任意一个就能立刻写出其他两部分，而且要能够区别相似公式，将出错概率降到最小。公式如下： 1. 11?u?1?u?u?????u??????un （-1，1） 2nn?0?12.1?u?1?u?u?u?????(?1)u??????(?1)nun （-1，1） 23nnn?0122133nun?1n?1?3.ln(1?u)?u?u?u?????(?1)??????(?1)nun?1 (??,??) n?1?n?04. e?1?u?u12!u?????u??????un! (??,??) 21n!nn?n?05. sinu?u?u?????(?1)13!2n1(2n?1)!u2n?1??????(?1)nn?0??u2n?1(2n?1)! (??,??) 6. cosu?1?u?u?????(?1)12!14!24n1(2n)!u??????(?1)n2nn?0u2n(2n)! (??,??) 这六个公式可以分为两个部分，前3个相互关联，后3个相互关联。 1式是第一部分式子的基础。1?u?u求和公式s?11?u2?????un????不就是一个无穷等比数列吗，在|u|?1时的

1正是函数展开式的左端。所以这个式子最好记，以此为出发点看式子2：1式左端是1?u，

nn?u，2式右端也仅仅是变成了交错级数?(?1)u,故可以通过这种比较来

?nn?02式左端是1?u；1式右端是

1?n?01?u)]??1?u)与2式左端的1?u存在着关系“[ln(记忆式子2；对于3式来说，公式左端的ln(1故由1?u111?u”，

1?u)的展开式为?(?1)n的展开式可以推导出ln(n?0?un?1n?1。这三个式子中的u?(?1,1)，相互之间存在

着上述的清晰联系。

后3个式子的u?(??,??)，相互之间的联系主要在于公式右端展开式形式上的相似性。这一部分的基本式是公式4：e??u?n?0?unn!与之相比，sinu的展开式是

?(?1)nn?0?u2n?1(2n?1)!，cosu的展开式是

u?(?1)nn?0u2n(2n)!。一个可看成是将e展开式中的奇数项变成交错级数得到的，一个可看成是将e展开式中

u 9

的偶数项变成交错级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危险，但此处恰好都是比较顺的搭配：sinu、cosu习惯上说“正余弦”，先正后余；而sinu的展开式对应的是奇数项，cosu的展开式对应的是偶数项，习惯上也是说“奇偶性”，先奇后偶。

在已知幂级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分(前3式)的展开式都不带阶乘，其中只有1?u的展开式不是交错级数；第二部分（后3式）的展开式都带阶乘，其中只有e的展开式不是交错级数。由题目给出的幂级数的形式就可以看个八九不离十了，比如给出的幂级数带阶乘而不是交错级数，则应该用公式4，因为幂级数的变形变不掉阶乘和(?1)；若题目给出的幂级数不带阶乘而且是交错级数，则必从2、3两式中选择公式，其它情况也类似。

对于函数的幂级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手，相对来说更为简单。在判断出所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幂级数展开）、四则运算（用于展开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）。

对于数项级数求和的题目，主要方法是构造幂级数法，即利用变换?an?lim?anxn求得幂级数n?0x?1n?0??1un?an?0?n其中的关键步骤是选择适当的xn，一般情况下如果n、(2n?1)xn的和函数s(x)以后代入极限式即可。

(???)?1这样的项在分子中，则应该先用逐项积分再用逐项求导，此时的x应为x11n的形式，如x(n)?1、x(2n?1)(2n?1)?1，

以方便先积分；若题目有(2n?1)、(3n?1)这样的项，则xn应为x(???)的形式，如x求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。 1.7 高数第十章《多元函数微分学》

、x(3n?1)，便于先

复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。

二元函数的极限要求点极限 二元函数 相似 一元函数 一元函数的极限与路径无关， 不同 由等价式limf(x)?Ax?x0?(x,y)以任何方向、任何路径趋向P(x0,y0)时均有x?x0f(x,y)?A（x?x0、y?y0）。如果沿不同路径的y?y

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limf(x,y)0即可判断。 ?f?(x0)?f?(x0)?A