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人教A版《选修4-2矩阵与变换》教案

第一讲 二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换

一、二阶矩阵 1.矩阵的概念

?2 ?→①→OP ? (2, 3)，将OP的坐标排成一列，并简记为?? y ?3 ?— P 2, 3) (3 2 ?2 ?

?? — ?3 ?

3

— 2 x O ②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：

初赛 复赛 80 90

甲 乙 80 86 90 88 ??

???86 88 ?

③ ?2x?3y?mz?1,2 3 m ?23m? 简记为??3?24? 3 －2 4 3x?2y?4z?2??? 概念一：

?23m??2 ??8090?象?? ? ??的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、C…?3 ??8688?3?24???表示，横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：

①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A＝B。 ③行矩阵：[a11,a12]（仅有一行）

?a11 ?

④列矩阵：??（仅有一列）

?a21 ?

?x?⑤向量a＝（x,y），平面上的点P（x,y）都可以看成行矩阵[x,y]或列矩阵??，在本书中规定所有的平

?y??x?面向量均写成列向量??的形式。

?y??练习1： 1.已知A??

?x3??1y?,B???z?2?，若A=B，试求x,y,z

4?2?????2x??m?nx?y?2.设A???，B??2x?ym?n?，若A=B，求x,y,m,n的值。

y3????概念二：

?ab?称为二阶矩阵。a,b,c,d称为矩阵的元素。 ??cd??00?①零矩阵：所有元素均为0，即??，记为0。

00??由4个数a,b,c,d排成的正方形数表?第 1 页 共 15 页

?10?②二阶单位矩阵：??，记为E2.

01??二、二阶矩阵与平面向量的乘法

???ab??ax?by??x?定义：规定二阶矩阵A=?，与向量的乘积为， A??????????cd??cx?dy??y???ab??x??ax?by?即A?＝???y?＝?cx?dy?

cd??????练习2：

?12??3?＝ ????0?1??1??12??1?（2） ?＝ ????0?1??3??10??x???1??x?2.?=，求 ????????12??y??1??y?1.（1） ?三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换

o’’’’

问题1:P（x,y）绕原点逆时针旋转180得到P(x,y),称P为P在此旋转变换作用下的象。其结果为

?x'??x?0?y?x'??x?x'???10??x???x?，也可以表示为，即＝＝?'?'?'????y???y?怎么算出来的？

0?1??????y?0?x?y?y??y?y??

o’’’’

问题2. P（x,y）绕原点逆时针旋转30得到P(x,y),试完成以下任务①写出象P； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.

o

问题3.把问题2中的旋转30改为旋转?角，其结果又如何？ 30o ? 2.反射变换

’

定义：把平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P的线性变换叫做关于直线l的反射。

’’’

研究：P（x,y）关于x轴的反射变换下的象P(x,y)的坐标公式与二阶矩阵。

3.伸缩变换

定义：将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，（k1、k2均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。

试分别研究以下问题：

①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.

②. 将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.

4.投影变换

’

定义：将平面上每个点P对应到它在直线l上的投影P（即垂足），这个变换称为关于直线l的投影变换。 研究：P（x,y）在x轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。

5.切变变换

定义：将每一点P（x,y）沿着与x轴平行的方向平移ky个单位，称为平行于x轴的切变变换。将每一点P（x,y）沿着与y轴平行的方向平移kx个单位，称为平行于y轴的切变变换。 研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。

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练习：P10 1.2.3.4

四、简单应用 1.设矩阵A=???10?，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。 ??01?练习：P13 1.2.3.4.5

【第一讲.作业】

1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是

o

2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120的旋转变换对应的二阶矩阵是

3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是

4.平面内的一种线性变换使抛物线y?x的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是

o

5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是

6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为

2x??z?x2??17. 设A??，B??2?，且A=B.则x＝ ?x?42??2x?1y??8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为

?1?2?对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为 ??21??1??1?对应的线性变换下得到的向量坐标为 10.已知点A（2，－1），B（－2，3），则向量AB在矩阵?2?0??2?????1??1?2?11.向量a在矩阵A??的作用下变为与向量??平行的单位向量，则a＝ ???1??01?1????????????5??1???3???12.已知A?2，a＝??，b＝??，设??a?b，??a?b，①求A?，A?； ?3??2??4??4??9.在矩阵A??

???10???1???x?o

13.已知A??，a＝??，b＝??，若Aa与Ab的夹角为135，求x. ???1???12??1?

14.一种线性变换对应的矩阵为??10?。①若点A在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A的坐标；???10?②解释该线性变换的几何意义。

?0?115.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为?1?。求①点A（1/5,3）在该变换作用下的

?0??2?22像；②圆x?y?1上任意一点P(x0,y0)在该变换作用下的像。

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