高三专题复习:直线与圆知识点及经典例题(含答案) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/25 12:47:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

【高考专题资料】整理人:智名堂文韬

专题:圆的方程、直线和圆的位置关系

【知识要点】

圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一)圆的标准方程

形如: (x?a)2?(y?b)2?r2 这个方程叫做圆的标准方程。 王新敞说明:1、若圆心在坐标原点上,这时a?b?0,则圆的方程就是x2?y2?r2。

2、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径;圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确

定了圆,所以,只要a,b,r三个量确定了且r>0,圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件确定a,b,r,可以根据3个条件,利用待定系数法来解决。

王新敞(二)圆的一般方程

将圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2,展开可得x2?y2?2ax?2by?a2?b2?r2?0。可见,任何一个圆的方程都可以写成 :x2?y2?Dx?Ey?F?0。

问题:形如x2?y2?Dx?Ey?F?0的方程的曲线是不是圆?

D2E2D2?E2?4F2将方程x?y?Dx?Ey?F?0左边配方得:(x?)?(y?)?()

2222222(1)当D?E?4F?0时,方程(1)与标准方程比较,方程x?y?Dx?Ey?F?0表示以(?22DE,?)为圆22D2?E2?4F心,以为半径的圆。

222(2)当D?E?4F?0时,方程x?y?Dx?Ey?F?0只有实数解,解为x??22DE,y??,所以表示一个22DE,?). 222222(3)当D?E?4F?0时,方程x?y?Dx?Ey?F?0没有实数解,因而它不表示任何图形。

点(?圆的一般方程的定义:当D?E?4F?0时,方程x2?y2?Dx?Ey?F?0称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点:(i)x和y的系数相同,不等于零;(ii)没有xy这样的二次项。 (三)直线与圆的位置关系

1、直线与圆位置关系的种类

(1)相离---求距离; (2)相切---求切线; (3)相交---求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法: 几何方法主要步骤:

(1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径 (2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离

(3)作判断: 当d>r时,直线与圆相离;当d=r时,直线与圆相切;当d

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(1)把直线方程与圆的方程联立成方程组

(2)利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程

(3)求出其Δ的值,比较Δ与0的大小:

(4)当Δ<0时,直线与圆相离;当Δ=0时,直线与圆相切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。

圆的切线方程总结:

当点(x0,y0)在圆x2?y2?r2上时,切线方程为:x0x?y0y?r2;

当点(x0,y0)在圆(x?a)2?(y?b)2?r2上时,切线方程为:(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2。 【典型例题】 类型一:圆的方程

例1 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y?0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系. 变式1:求过两点A(1,4)、B(3,2)且被直线y?0平分的圆的标准方程.

变式2:求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆上所有的点均关于直线y?0对称的圆的标准方程.

分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P与圆的位置关系,只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.

解法一:(待定系数法)

222222设圆的标准方程为(x?a)?(y?b)?r.∵圆心在y?0上,故b?0.∴圆的方程为(x?a)?y?r. 22??(1?a)?16?r2a??1r?20. 又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.∴? 解之得:,22??(3?a)?4?r所以所求圆的方程为(x?1)?y?20. 解法二:(直接求出圆心坐标和半径)

因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点,所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上,又因为kAB?224?2??1,故l1?3的斜率为1,又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线l的方程为:y?3?x?2即x?y?1?0.

又知圆心在直线y?0上,故圆心坐标为C(?1,0)∴半径r?AC?第 2 页 共 2 页

(1?1)2?42?20.

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故所求圆的方程为(x?1)2?y2?20.又点P(2,4)到圆心C(?1,0)的距离为

d?PC?(2?1)2?42?25?r.∴点P在圆外.

例2:求过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的圆心和半径。

解:设圆的方程为:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,将三个点的坐标代入方程

?F?0??D?E?F?2?0?4D?2E?F?20?0?? F = 0, D = ?8, E = 6 ? 圆方程为:x2 + y2 ?8x + 6y = 0

配方:( x ?4 )2 + ( y + 3 )2 = 25 ?圆心:( 4, ?3 ), 半径r = 5 例3:求经过点A(0,5),且与直线x?2y?0和2x?y?0都相切的圆的方程.

分析:欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上.

解:∵圆和直线x?2y?0与2x?y?0相切,∴圆心C在这两条直线的交角平分线上,

又圆心到两直线x?2y?0和2x?y?0的距离相等.∴

x?2y5?x?2y5.∴两直线交角的平分线方程是

x?3y?0或3x?y?0.又∵圆过点A(0,5),∴圆心C只能在直线3x?y?0上.

设圆心C(t,3t)∵C到直线2x?y?0的距离等于AC,∴

2t?3t5?t2?(3t?5)2.

2化简整理得t?6t?5?0.解得:t?1或t?5∴圆心是(1,3),半径为5或圆心是(5,15),半径为55.

∴所求圆的方程为(x?1)?(y?3)?5或(x?5)?(y?15)?125.

说明:本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法. 类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例4、已知圆O:x2?y2?4,求过点P?2,4?与圆O相切的切线.

解:∵点P?2,4?不在圆O上,∴切线PT的直线方程可设为y?k?x?2??4 根据d?r∴

2222?2k?41?k2?2.解得k?33所以y??x?2??4即3x?4y?10?0 4,4,

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为x?2. 说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解.

本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0解决(也要注意漏解).还可以运用

x0x?y0y?r2,求出切点坐标x0、y0的值来解决,此时没有漏解.

例5、自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x?y?4x?4y?7?0相切,求光线所在直线方程。

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