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专题05 导数压轴题的零点及恒成立、有解问题- -2019届高考理科数学常考题型快速提分专题

1．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知函数f(x)?ex?ax2．

（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a．

2?x【解析】（1）当a?1时，f(x)?1等价于(x?1)e?1?0．

设函数g(x)?(x?1)e2?x?1，则g'(x)??(x2?2x?1)e?x??(x?1)2e?x．

当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,??)单调递减． 而g(0)?0，故当x?0时，g(x)?0，即f(x)?1．

e2①若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)没有零点；

4e2②若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)只有一个零点；

4e2③若h(2)?0，即a?，由于h(0)?1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，

433316a16a16a1?1??0． 由（1）知，当x?0时，ex?x2，所以h(4a)?1?4a?1?2a2?1?4e(e)(2a)a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,??)有两个零点．

e2综上，f(x)在(0,??)只有一个零点时，a?．

42．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知函数f(x)?ae（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

2xxxx【解析】（1）f(x)的定义域为(??,??)，f?(x)?2ae?(a?2)e?1?(ae?1)(2e?1)，

2x?(a?2)ex?x.

（ⅰ）若a?0，则f?(x)?0，所以f(x)在(??,??)单调递减. （ⅱ）若a?0，则由f?(x)?0得x??lna.

当x?(??,?lna)时，f?(x)?0；当x?(?lna,??)时，f?(x)?0， 所以f(x)在(??,?lna)单调递减，在(?lna,??)单调递增.

又f(?2)?ae?4?(a?2)e?2?2??2e?2?2?0，故f(x)在(??,?lna)有一个零点.

设正整数n0满足n0?ln(?1)，则f(n0)?e0(ae0?a?2)?n0?e0?n0?20?n0?0. 由于ln(?1)??lna，因此f(x)在(?lna,??)有一个零点. 综上，a的取值范围为(0,1).

【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化.已知函数f(x)有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y?a与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若f(x)有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.

3．（2015新课标全国Ⅱ理科）设函数f(x)?emx?x2?mx． （Ⅰ）证明：f(x)在(??,0)单调递减，在(0,??)单调递增；

（Ⅱ）若对于任意x1,x2?[?1,1]，都有|f(x1)?f(x2)|?e?1，求m的取值范围．

3annnn3a (Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的m，f(x)在[?1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f(x)在x?0处取得最

小值．所以对于任意x1,x2?[?1,1]，|f(x1)?f(x2)|?e?1的充要条件是??f(1)?f(0)?e?1,即

?f(?1)?f(0)?e?1,m??e?m?e?1,tt①，设函数g(t)?e?t?e?1，则g'(t)?e?1．当t?0时，g'(t)?0；当t?0时，??m??e+m?e?1，g'(t)?0．故g(t)在(??,0)单调递减，在(0,??)单调递增．又g(1)?0，g(?1)?e?1?2?e<0，故

当t?[?1,1]时，g(t)?0．当m?[?1,1]时，g(m)?0，g(?m)?0，即①式成立；当m?1时，由g(t)的单调性，g(m)?0，即em?m?e?1；当m??1时，g(?m)?0，即e?m+m?e?1．综上可知，m的取值范围是[?1,1]．