内容发布更新时间 : 2025/1/4 11:53:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
数学
三、中档大题，规范特训 “3＋2选1”限时规范练(一)
(时间：45分钟)
?π?3232??2x＋1．设函数f(x)＝sin3?＋3sinx－3cosx. ?
(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；
π
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图
3
?ππ?
象，求g(x)在区间?－6，3?上的值域．
??
133
[规范解答及评分标准] (1)f(x)＝sin2x＋cos2x－cos2x
223π?133?
?＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋6?.(2分)
263??2π
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(4分)
2
ππkππ
令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．(6
6226分)
π
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度．
3
3??π?π?3
????得到函数g(x)＝sin2x－3＋6＝－cos2x的图象， 3?3???
数学
即g(x)＝－
3
cos2x，(8分) 3
?ππ?
当x∈?－6，3?时，
???π2π?
2x∈?－3，3?，
??
?1?
可得cos2x∈?－2，1?，(10分)
?
?
?333?
所以－cos2x∈?－，?，
336??
??ππ?33?
???即函数g(x)在区间－6，3上的值域是－，?.(12分) ??36??
2．为了解收购的每只小龙虾的重量(单位：克)，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了40只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下．
从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表 重量/克 频数 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55] 2 8 16 10 4 从乙水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表 重量/克 频数 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55] 2 6 18 10 4 (1)试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频率分布直方图；
数学
(2)依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级： 重量/克 等级 [5,25) 三级 [25,45) 二级 [45,55] 一级 若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由．
(3)从甲水产养殖场抽取的40只小龙虾中利用分层抽样的方法抽取8只，再从抽取的8只小龙虾中随机抽取2只，X表示抽取的2只小龙虾中重量在[25,55]内的小龙虾的数量，求X的分布列及期望E(X)．
[规范解答及评分标准] (1)
(2)若把频率看作相应的概率，则
数学
16＋10＋4
“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为＝
400.75，
18＋10＋4
“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为＝
400.8，
所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高．(6分)
(3)因为从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量在[5,25)，[25,55]内的小龙虾的数量比为1∶3，故抽取的8只小龙虾中，重量在[5,25)内的小龙虾有2只，重量在[25,55]内的小龙虾有6只，X的所有可能取值为0,1,2，(8分)
C212P(X＝0)＝2＝，
C828
1C11232C6P(X＝1)＝2＝＝，
C8287
C2156P(X＝2)＝2＝.(10分)
C828X的分布列为
X P 0 1 281 3 72 15 281315E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.5.(12分)
28728
3．如图，以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为等边三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，
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EC＝
3
，AB＝2. 2
(1)求证：DE⊥AB；
(2)求二面角D－BE－A的余弦值．
[规范解答及评分标准] (1)设AB的中点为F，连接DF，CF. 因为△ABC，△ABD均为等边三角形， 所以DF⊥AB，CF⊥AB， 因此AB⊥平面CFD.(3分)
因为平面ABC⊥平面ABD，DF⊥AB，
所以DF⊥平面ABC，又EC⊥平面ABC，所以DF∥CE， 从而E∈平面DFC，因此DE?平面DFC， 所以DE⊥AB.(6分)
(2)如图，以F为坐标原点建立空间直角坐标系．