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2020-2021中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合含详细答案

一、二次函数

1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣（3）点P（4，6）． 【解析】

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x+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；2【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣

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t+2t+6），则N（t，﹣t+6），由2111PN?AG+PN?BM=PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数222S△PAB=S△PAN+S△PBN=的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣

1， 212（x﹣6）（x+2）=﹣

所以抛物线解析式为y=﹣

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x+2x+6； 2（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，

将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：

?b?6， ?6k?b?0??k??1解得：?，

b?6?则直线AB解析式为y=﹣x+6，

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t+2t+6）其中0＜t＜6， 2则N（t，﹣t+6），

设P（t，﹣

1211t+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t， 222∴S△PAB=S△PAN+S△PBN 11=PN?AG+PN?BM 221=PN?（AG+BM） 2∴PN=PM﹣MN=﹣

1PN?OB 211=×（﹣t2+3t）×6 223=﹣t2+9t

2327=﹣（t﹣3）2+，

22=

∴当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）如图2，

∵PH⊥OB于H， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH∥AO， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE∥x轴、PD⊥x轴， ∴∠DPE=90°，

若△PDE为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，

∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，

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x+2x+6=6， 2解得：x=0（舍）或x=4， 即点P（4，6）．

则当y=6时，﹣

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

2．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线y??23243x?x?23与其“衍生直线”交于A、B两点（点A33在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．