内容发布更新时间 : 2024/12/22 20:01:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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3.1.2空间向量的数乘运算（一）

教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题． 教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式． 教学过程： 一、复习引入

??1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共

线？

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

????向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理， 二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，

????则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．

2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：

?????共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，

??使a＝λb.

?????理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a∥b（a≠0），则有b＝?a，

???其中?是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数?，使b＝?a（a≠0），则有

????????a∥b（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）.

?????⑵对于确定的?和a，b＝?a表示空间与a平行或共线，长度为 |?a|，当?>0时??与a同向，当?<0时与a反向的所有向量.

?3. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，

?点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式 OP?OA?ta．

?其中向量a叫做直线l的方向向量. 推论证明如下：

∵ l//a ，∴ 对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得

?AP?ta．(*)

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又∵ 对于空间任意一点O，有AP?OP?OA，

?? ∴ OP?OA?ta ， OP?OA?ta． ① ?若在l上取AB?a，则有OP?OA?tAB．(**)

又∵ AB?OB?OA ∴ OP?OA?t(OB?OA)?(1?t)OA?tOB．② 当t?时，OP?(OA?OB)．③

理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．

⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同， 是平面向量相关知识的推广．

4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形 是平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？）

5. 出示例2：如图O是空间任意一点，C、D是线段AB的三等分点，分别用OA、OB表示OC、OD.

三、巩固练习： 作业：

3.1.2空间向量的数乘运算（二）

O 1212A C D B 学习必备 欢迎下载

教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题．

教学重点：点在已知平面内的充要条件．

教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用． 教学过程： 一、复习引入

1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．

2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、新课讲授

1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．

向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．

2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．

结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD，AB、

AC、AD这三个向量就不是共面向量．

4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？ 5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb ． 证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线． ∵ 向量p与向量a、b共面

∴ 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得 p= xa+yb．

充分性：如图，∵ xa，yb分别与a、b共线， ∴ xa，yb都在a、b确定的平面内． 又∵ xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，