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整数的性质(全)

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整数的性质及其应用（1）

基础知识

整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质

在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设使得

是给定的数，

，若存在整数，

则称整除，记作，并称是的一个 。

约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作

由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若(2)若

且且

，则，则及

(传递性质)；

即为某一整数倍数的整

有

数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知

，则对于任意的整数

。更一般，若。或着(3)若

都是的倍数，则其中

；

，因此若

且

，则

，则或者，或者

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，则(4)

； 互质，若

，则

；

中，则

；

(5)是质数，若，则能整除

的某一个；特别地，若是质数，若(6)(带余除法)设和，使得

为整数，

，则存在整数

，其中，并且和由上述

条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。注意：共有种可能的取值：0,1，……，整除的情形；

易知，带余除法中的商实际上为不等式：

。证明

（不超过

。若

，即为被

的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的

的基本手法是将分解为

与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。 若是正整数，则若是正奇数，则（在上式中用

代）

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； ；