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第十七讲 三角形与全等三角形

【重点考点例析】

考点一：三角形三边关系

例1 （2013?温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ） A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11 思路分析：看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可． 解：A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； B、因为4+5=9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；

C、因为9-4＜5＜8+4，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确； D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； 故选C．

点评：本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形． 对应训练 1．（2013?长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 1．B

考点二：三角形内角、外角的应用

例2 （2013?湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ） A．15° B．25° C．30° D．10°

思路分析：先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°， ∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°， ∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°， ∴∠BFD=180°-45°-120°=15°． 故选A． 点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 对应训练 2．（2013?鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ） A．165° B．120° C．150° D．135°

2．A

考点三：三角形全等的判定和性质

例3 （2013?天门）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．

思路分析：找到两三角形全等的条件，三角形全等就写出来，选择一组证明即可． 解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM． 选择△AEM≌△ACN， 理由如下：

∵△ADE≌△ABC，

∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB， ∴∠EAM=∠CAN，

∵在△AEM和△ACN中，

? E? C?， ?AE?AC?? EAM? ?CAN?∴△AEM≌△CAN（ASA）． 点评：本题考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

例4 （2013?宜宾）如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．

思路分析：要证明BE=CD，把BE与CD分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一

对公共角，进而利用AAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．

证明：在△ABE和△ACD中，

??B? ?C???A? ?A， ?AB?AC?∴△ABE≌△ACD（AAS），

∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）． 点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角等隐含条件的运用． 对应训练 3．（2013?荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．

3．解：△ACE≌△BCD．

∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ECD=∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠BCD（都是∠ACD的余角）， 在△ACE和△BCD中，

?CE?CD?∵??ACE??BCD， ?CA?CB?∴△ACE≌△BCD． 4．（2013?十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．

4．证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，

在△ABD与△ACE中，