内容发布更新时间 : 2024/4/20 13:06:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

习 题 八

1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测

了5炉铁水，其含碳量（%）分别为

4.28 4.40 4.42 4.35 4.37

问若总体标准差不改变，总体均值有无显著性变化（?=0.05）? 1.【解】

H0:???0?4.55;H1:???0?4.55.n?5,??0.05,Z?/2?Z0.025?1.96,??0.108x?4.364,Z?x??0(4.364?4.55)??5??3.851,0.108?/nZ?Z0.025.

所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.

2. 某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取三十六名考生的成绩，算得平均成绩为65.5分，标准差为15分.问在显著性水平??0.10下，能否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？

2. 解： 按题意需检验

H0：μ=m=70，H1：μ1m0=70 0因为总体X~N(μ,s2)且s=15， 故，选取检验统计量Z=X-μ0σ/n从而拒绝域为z3zα/2=z0.05=1.65

又由已知可得x=66.5，n=36 故有，|z|=，

|x-μ0|σ/n15/36所以，在显著水平a=0.1下，不可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.

3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为

22

样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s=0.1(g).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取?=0.05）.

3.设

=|65.5-70|=1.8 1.65

H0:???0?1.1;H1:???0?1.1.n?36,??0.05,t?/2(n?1)?t0.025(35)?2.0301,n?36,x?1.008,s2?0.1,t?(1.008?1.1)?6?1.7456,s/n0.1t?1.7456?t0.025(35)?2.0301.?x??0

所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.

4. 试用第一节假设检验的基本思想. 方法和步骤验证定理1. 2. 3的第一条结论.

5. 类似地用第一节单边假设检验的思想. 方法和步骤验证定理1. 2. 3的结论2、3条. 6. 某种内服药品有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从均值为22的正态分布.现研制这种新药品，测试了10名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下：

18，27，23，15，18，15，18，20，17，8

问能否肯定新药的副作用小？（??0.05）

6.解： 根据题意需检验

H0:m?22，H1:m22

N(μ,σ2)，且?未知

X?22所以，选择检验统计量T?

Sn则拒绝域为：t￡-ta(9)=-t0.05(9)=-1.8331 又由已知可计算得x=17.9，s=5.043

x-μ017.9-22所以，t===-2.56￡-1.8331

s/n5.043/10拒绝H0，即认为新药的副作用小。

因为X:7.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为

19，18，20，22，16，25，

问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取?=0.05）.

7.【解】

H0:??21.5;H1:??21.5.?0?21.5,n?6,??0.05,z0.05?1.65,??2.9,x?20, x??0(20?21.5)z???6??1.267,2.9?/nz??z0.05??1.65.所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.

8. 科学上的重大发现往往是由年轻人作出的，下面列出了自16世纪中叶至20世纪早期的十二项重大发现者和他们发现时的年龄

发 现 发 现 者 发 现 时 间 年 龄 哥白尼 地球绕太阳运转 1943 40 (Copernicus) 伽利略 望远镜. 天文学的基本定律 1600 34 (Galileo) 牛顿 运动原理. 重力. 微积分 1665 23 (Newton) 富兰克林 电的本质 1746 40 (Franklin) 拉瓦锡 燃烧是与氧气联系着的 1774 31 (Lavoisier) 莱尔 1830 33 (Lyell) 达尔文 自然选择控制演化的证据 1858 49 (Darwin) 麦克斯威尔 光的场方程 1864 33 (Maxwell) 居里 放射性 1896 34 (Curie) 普朗克 量子论 1901 43 (Plank) 爱因斯坦 21905 26 狭义相对论，E?mc (Einstein) 薛定珥 量子论的数学基础 1926 39 (Schroedinger) 设样本来自正态总体，试问能否有理由相信“发现时发现者的平均年龄?不超过40岁”这地球是渐进过程演化成的 一论断？（??0.05）

8、解： 根据题意需检验

H0:m￡40，H1:m>40

N(μ,σ2)，且?未知

X?40所以，选择检验统计量T?

Sn则拒绝域为：t3ta(11)=t0.05(11)=1.7959 又由已知可计算得x=35.4167，s=8.6707

x-μ035.4167-40所以，t= ==-1.8331<17959.s/n8.6707/12故，拒绝H0，即相信“发现时发现者的平均年龄?不超过40岁”这一论断。

因为X:9.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：

第一批棉纱样本：n1=200，x=0.532kg, s1=0.218kg； 第二批棉纱样本：n2=200，y=0.57kg, s2=0.176kg.

设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(?=0.05) 9.【解】

H0:?1??2;H1:?1??2.n1?n2?200,??0.05,t?/2(n1?n2?2)?t0.025(398)?z0.025?1.96,2(n1?1)s12?(n2?1)s2199?(0.2182?0.1762)sw???0.1981, n1?n2?2398t?x?y(0.532?0.57)???1.918;1111sw?0.1981??n1n2200200t?t0.025(398).所以接受H0，认为两批强度均值无显著差别.

10. 某香烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取容量大小相等的烟叶标本，测量尼古丁含量的毫克数，实验室分别做了六次测定，数据如下：

甲：25 28 23 26 29 22

乙：28 23 30 25 21 27

试问：这两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？给定??0.05，假定尼古丁含量服从正态分布且具有公共方差。

10.解： 根据题意需要检验假设

H0:μ1-μ2=δ=0，H1:μ1-μ2=δ10

因为X:N(μ1,s2)，Y~N(μ2,s2)，且s2未知

(X?Y)??S?1n1所以，选T??21n2为检验统计量，其中S??2(n1?1)S12?(n2?1)S2

n1?n2?2从而，拒绝域为t3tα(n1+n2-2)=t0.025(10)=2.2281

又由已知可得n1=6,x=25.5,s1=7.5； n2=6,y=25.67,s2=11.07 从而 t=2225.5-25.673.051+166所以，接受H0，即这两种香烟的尼古丁含量无显著差异

11. 为比较甲，乙两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取甲型子弹10发，得到枪口速度的平均值为x1?500(m/s)，标准差s1?1.10（m/s）.随机地取乙型子弹20发，得到枪口速度的平均值为x2?496(m/s)，标准差s1?1.20（m/s）.假设两总体都可认为近似地服从正态分布，且由生产过程可认为方差相等.问在显著性水平??0.05下，能否判断甲型步枪的速度明显地高于乙型步枪的速度？ 11.解： 根据题意需要检验假设

H0:?1??2?0，H1:?1??2?0

因为X:?0.099<2.2281

N(μ1,s2)，Y~N(μ2,s2)，且s2未知

X-Y所以，选T=为检验统计量，其中S??Sωn11+n12从而，拒绝域为t￡-tα(n1+n2-2)=-t0.05(28)= -1.7011

2(n1?1)S12?(n2?1)S2

n1?n2?22又由已知可得n1=10,x=500,s1=1.12； n2=20,y=496,s2=1.22 2从而 t=6.253 -1.7011

所以，接受H0，即甲型步枪的速度明显地高于乙型步枪的速度。

12.某种导线的电阻服从正态分布N（μ，0.005）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s=0.008欧.对于?=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005? 12.【解】

2H0:???0?0.005;H1:???0?0.005.n?9,??0.05,s?0.008,2222 ??(8)??(8)?17.535,?(8)??/20.0251??/20.975(8)?2.088,??2(n?1)s2?028?0.00822??20.48,?2??0.025(8).2(0.005)故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.

13.某厂生产金属丝，产品指标为为折断力，折断力的方差被用作工厂生产精品的表征. 方差越小，表明精度越高.以往工厂一直把该方差保持在64及以下.现从一批产品中抽取10根作折断力试验，测得结果（单位为千克）如下：

578 572 570 568 572 570 572 596 584 570.

由上述数据算得样本均值和样本方差分别为575.2,75.73.

为此，厂方怀疑金属丝折断力的方差变大了.试在显著性水平??0.05下，检查厂方的怀疑.

H0:??64;H1:??64.n?9,??0.05,s?0.008,2213.??(n?1)??0.05(9)?16.919.

??2(n?1)s2?02?9?75.732?10.65,?2??0.05(9).64故不能拒绝H0，从而生产流程正常.

14.两位化验员A，B对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A，B所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA2，σB2，试在水平?=0.05下检验方差齐性的假设

2222H0:?A??B;H1:?A??B.

14.【解】