内容发布更新时间 : 2024/11/10 8:32:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
圆锥曲线
x2y2
1．已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点
ab1→
A，交另一条渐近线于点B，且AF2＝F2B，则该双曲线的离心率为( )
3
→
A.
65
B. C.3 D．2 22
答案 A
解析 由F2(c,0)到渐近线y＝的距离为d＝
babca2＋b→→
＝b，即|AF|＝b，则|BF22|＝3b. 2
b2×
ab4b→→
在△AF2O中，|OA|＝a , |OF2|＝c，tan∠F2OA＝，tan∠AOB＝＝，化简可得a2＝2b2，即c2
aa?b?
1－??2
?a?
32c6
＝a＋b＝a，即e＝＝，故选A.
2a2
2
2
x2y2π
2．设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切
ab3
圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为( ) 4212
A. B. C. D. 5325答案 B
(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
π由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝，
3
422
可得|PF1||PF2|＝(a－c)，
3
11
则由三角形面积公式(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·r＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2，
22可得(2a＋2c)·
34223a－c()c＝·，
632
c2
∴e＝＝.
a3
3．2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已π
知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时，截口曲线为
2椭圆；与PH夹角a＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH夹角θ>a>0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM⊥AB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴．那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
D．抛物线的一部分
C．双曲线的一部分 答案 D
解析 如图，因为对于给定的椭圆说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.
x2y2
4．过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一个
ab端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________．
答案 (1，2)∪(2＋2，＋∞)
x2y2
解析 设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－c,0)，
ab令＝－c，可得y＝±b2
c2b2
－1＝±， a2a2
b?b???
设A?－c，?，B?－c，－?，D(0，b)，
a?a???b??c，b－可得AD＝?，
a???
→
2
2b?→?b??
AB＝?0，－?，DB＝?－c，－b－?，
a?a???→
2
2
→→
若∠DAB为钝角，则AD·AB<0，
b2?2b2?
即0－·?b－?<0，
a?
a?
化为a>b，即有a2>b2＝c2－a2， 可得c2<2a2，即e＝<2， 又e>1，可得1 →→ 若∠ADB为钝角，则DA·DB<0， ca?b??b? 即c2－?＋b??－b?<0， ?a??a? 2 2 化为c4－4a2c2＋2a4>0， c由e＝，可得e4－4e2＋2>0， a又e>1，可得e>2＋2； b2?2b2? 又AB·DB＝?b＋?>0， → → a?a? ∴∠DBA不可能为钝角． 综上可得，e的取值范围为(1，2)∪( 2＋2，＋∞)． 5．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行， 2|PQ|2 且与椭圆交于P，Q两点，则＝________. |MN| x2