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初中数学竞赛辅导资料(48)

非负数

甲内容提要

1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.

a是非负数，可记作a≥0,读作a大于或等于零，即a不小于零. 2. 初中学过的几种非负数：

⑴实数的绝对值是非负数. 若a是实数，则a≥0.

⑵实数的偶数次幂是非负数. 若a是实数，则a2n≥0（n是正整数）. ⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数. 若a是二次根式，则a≥0， a≥0.

⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立. 若二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 有两个实数根， 则b2－4ac≥0. 若b2－4ac≥0 (a≠0)， 则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.

⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数. 3. 非负数的性质：

⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.

例如：a2有最小值0（当a=0时）， x?1也有最小值0（当x=－1时）. ⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零. 若a≥0且－a ≥0， 则a=0；

如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0. ⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.

例如：若a，b，x都是实数数，则a2+b2≥0, a×b≥0, a2x≥0. ⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零. 例如 若a?1?（b＋3）2+2c?1=0

?a?1?0?a?1?0?a?1????2 那么?(b?3)?0 即?b?3?0 ∴?b??3.

?2c?1?0?c??0.5?2c?1?0????

乙例题

例1. 求证：方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根 证明：把方程左边分组配方，得 （x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0 即（x2+1）2+(x+1)2=－4

∵（x2+1）2＞0，(x+1)2≥0， ∴（x2+1）2+(x+1)2≥0. 但右边是－4.

∴不论x取什么实数值， 等式都不能成立. ∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根. 例2.

a取什么值时，根式(a?2)(a?1)?(a?2)(1?a)有意义？

解：∵二次根式的被开方数（a－2）(a?1)与(a－2)(1－a)都是非负数，

且（a－2）(a?1)与(a－2)(1－a)是互为相反数， ∴（a－2）(a?1)＝0. （非负数性质2） ∴a－2=0；或 a?1=0.

∴a1=2, a2=1, a3=－1.

答：当 a=2或a=1或a=－1时，原二次根式有意义. 例3.

1x2?16?8x2

要使等式（2－x）+＝0成立，x的值是＿＿＿＿.

3x?41x2?16?8x2

解：要使原等式成立∵（2－x）≥0， ∴≤0.

3x?4x?4x2?16?8x∴＝＝－1，(x－4≠0)

x?4x?4∴（2－

1x）2＝1，且x－4<0. 312??x＝3或x?9（2－x)?1?即? 解得 3?x?4???x?4?0 ∴x=3 .

答：x的值是3.

例4. 当a, b取什么实数时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根？ 解：∵当△≥0时，方程有实数根.

解如下不等式： ［2（1＋a）］2－4(3a2+4ab+4b2+2)≥0

－8a2－16ab－16b2+8a－4≥0， 2a2+4ab+4b2－2a+1≤0， （a+2b）2+(a－1)2≤0 ①

∵（a+2b）2≥0且(a－1)2≥0， 得（a+2b）2+(a－1)2≥0 ②

∴只有当（a+2b）2＝0且(a－1)2＝0 不等式①和②才能同时成立.

答：当a=1且b=－丙练习48

1时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根. 21. 已知在实数集合里x?3?3?x有意义，则 x=____. 2. 要使不等式（a+1）2≤0成立，实数a=_____.

3. 已知a?1?b2?2b?1＝0，则 a=＿＿, b=＿＿, a100b101=____. 4. 把根号外因式移到根号里：

① －aa=＿＿＿， ② b?b=＿＿＿＿， ③－c?35.如果a

1=＿＿＿＿. c（A）（x+a）?(x?a)(x?b). (B) （x+a）(x?a)(x?b). (C) －（x+a）?(x?a)(x?b). (D) －（x+a）(x?a)(x?b). 6. 已知a是实数且使a?a=7. 已知a, b 是实数且a?x, 则x=＿＿＿＿.

1. 2b?1?1?b? 化简4a2?4ab?1?a2b?2ab?1后的值是＿＿＿＿.

8. 当x=＿＿时，3－（x＋2）有最大值＿＿＿. 9. 已知： 1?a?c?4?1,且1?a, 10. 11. 12. 13.

c?4都是整数.求a, c的值.

求方程x2+y2+x2y2+6xy+4=0的实数解.

求适合不等式2x2+4xy+4y2－4x+4≤0的未知数x的值.

求证：不论k取什么实数值，方程x2+(2k+1)x－k2+k=0都有不相等的实数解. 比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.

?x?y?z?2?14.已知方程组?xy?yz?xz?1?a的解x,y,z 都是非负数. 求a的值.

?xy?z?1?a?