内容发布更新时间 : 2024/11/9 2:09:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

难点16 三角函数式的化简与求值

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.

●难点磁场

(★★★★★)已知_________.

●案例探究

?2＜β＜α＜

3?123,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值4513［例1］不查表求sin220°+cos280°+3cos20°cos80°的值.

命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较

高.属于★★★★级题目.

知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.

技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.

解法一：sin220°+cos280°+3sin220°cos80°=

11 (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°2211=1－cos40°+cos160°+3sin20°cos(60°+20°)

2211=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－

22sin60°sin20°)

=1－

33113cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°

44242331=1－cos40°－(1－cos40°)=

444解法二：设x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°y=cos220°+sin280°－3cos20°sin80°，则x+y=1+1－3sin60°=

1，x－y=－cos40°+cos160°+3sin100°2=－2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x=y=

11，即x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°=.44［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=a值，并对此时的a值求y的最大值.

1的2命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目

知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.

错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.

技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.

a2a2?4a?2解：由y=2(cosx－)－及cosx∈［－1，1］得：

22 (a??2)?1 ?2?af(a)???2a?1 (?2?a?2)

2?1?4a (a?2)??∵f(a)=

111,∴1－4a=?a=?［2,+∞)228a21故－－2a－1=，解得：a=－1，此时，

2211y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.

22［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+

?3)－3sin2x+sinxcosx

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；(3)若当x∈［

?12，

7?－－

］时，f(x)的反函数为f1(x)，求f-1(1)的值.12命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.

－

错解分析：在求f-1(1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维.

解：(1)f(x)=2cosxsin(x+=2cosx(sinxcos

?3)－3sin2x+sinxcosx

?3+cosxsin

?3)－3sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+∴f(x)的最小正周期T=π(2)当2x+

?3)

?3=2kπ－

?2，即x=kπ－

5? (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.12(3)令2sin(2x+

］,,22??3??5?∴2x+∈［,］,∴2x+=，则

33236?3)=1，又x∈［

?7?x=

?4，故f-1(1)=

－

?4.

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.

2.技巧与方法：

1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.

3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.

4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈ (－

??,221A. 2)，则tan

???2

的值是( ) B.－2

C.

4 3 D.

1或－2 2二、填空题

3?1，α∈(，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_________. 522?3???33?53.(★★★★★)设α∈(,)，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则sin(α

413444452.(★★★★)已知sinα=+β)=_________.

三、解答题

4.不查表求值:

2sin130??sin100?(1?3tan370?)1?cos10?.

sin2x?2sin2x317?7?5.已知cos(+x)=，(＜x＜)，求的值.

1?tanx544121?cos(???)??86.(★★★★★)已知α－β=π，且α≠kπ(k∈Z).求?4sin2(?)的最

??443csc?sin22?大值及最大值时的条件.

7.(★★★★★)如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.

8.(★★★★★)已知cosα+sinβ=3，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y=log122x?3的最小值，并求取得最小值时x

4x?10的值.