内容发布更新时间 : 2024/6/3 0:29:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

课时作业22 正弦定理和余弦定理 一、选择题 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin(A＋B)＝，a＝3，c＝4，3则sinA＝( ) 21A. B. 3431C. D. 46ac341解析：∵＝，即＝，又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，sinAsinCsinAsinC31∴sinA＝，故选B. 4答案：B 2．(2018·济南模拟)在△ABC中，AC＝13，BC＝1，B＝60°，则△ABC的面积为( ) A.3 B．2 C．23 D．3 解析：本题考查余弦定理、三角形的面积公式．在△ABC中，由余弦定理得AC＝AB222222＋BC－2AB·BCcosB，即(13)＝AB＋1－2×1×ABcos60°，解得AB＝4，所以△ABC的11面积为S＝AB·BCsinB＝×4×1×sin60°＝3，故选A. 22正确利用余弦定理求解三角形的边长是解题的关键． 答案：A 3．(2018·重庆适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝3，则△ABC的面积为( ) A.33 B. 4433 D. 22C.a2＋b2－c21解析：依题意得cosC＝＝，C是三角形内角，即C＝60°，因此△ABC的2ab21133面积等于absinC＝×3×＝，选B. 2224答案：B 4．(2018·张掖市第一次诊断考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，

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1若c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB为( ) 2A.73 B. 4471 D. 33222C.1a＋c－b解析：由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝2a，∵cosB＝＝22aca2＋4a2－2a23＝， 24a4∴sinB＝答案：A 5．(2018·太原五中检测)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若22sinA＝，a＝2，S△ABC＝2，则b的值为( ) 332A.3 B. 2C．22 D．23 1122解析：因为S△ABC＝bcsinA＝bc×＝2，所以bc＝3①.因为△ABC是锐角三角22311222222形，所以cosA＝，由余弦定理知a＝b＋c－2bccosA，即4＝b＋c－2×3×，所以b33＋c＝6②.联立①②，解得b＝c＝3，故选A. 答案：A 二、填空题 6．(2017·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________. 解析：方法一：由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理， 得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA. ∴2sinBcosB＝sin(A＋C)． 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B. ∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB. 1π又B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝. 23方法二：∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b， 27?3?21－??＝. ?4?4 5

1∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝. 2π又0∠BDC＝，所以∠BCA＝，所以cos∠BCA＝.在△ABC中，AB＝AC2462＋BC－2AC·BC·cos∠BCA＝2＋6－2×2×6×在△BCD中，23π＝2，所以AB＝2，所以∠ABC＝，26CD6CD＝，即＝，解得CD＝3. sin∠BDCsin∠ABC2122BC答案：3 8．(2018·深圳调研)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即△ABC的面积S＝1?22?a＋c－b?2??ac－???，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若b＝2，且24????3sinBtanC＝，则△ABC的面积S的最大值为________． 1－3cosB解析：本题考查数学文化、三角恒等变换、正弦定理、三角形的面积公式、二次函数3sinBsinC的图象与性质．由tanC＝＝，可得sinC＝3(sinBcosC＋cosBsinC)＝3cosC1－3cosBsin(B＋C)＝3sinA，结合正弦定理可得c＝3a，而S＝1?22?a＋c－b?2?1?ac－???＝224????222222?4a－4?2＝1－a2－43a－???2?2422＋12≤3，当且仅当a＝2，c＝23时，等号成立，故△ABC的面积S的最大值为3.

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答案：3 三、解答题 9．(2018·山东师大附中一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值． 解析：(1)∵bsinA＝3acosB， 由正弦定理得sinBsinA＝3sinAcosB. 在△ABC中，sinA≠0， π即得tanB＝3，B∈(0，π)，∴B＝. 3(2)∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a， π22222由余弦定理b＝a＋c－2accosB即9＝a＋4a－2a·2acos， 3解得a＝3，∴c＝2a＝23. 10．(2017·新课标全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为. 3sinA(1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长． 1a1a解析：(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝. 23sinA23sinA1sinA由正弦定理得sinCsinB＝ . 23sinA2故sinBsinC＝. 31(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－， 21即cos(B＋C)＝－. 2又B＋C∈(0，π) 2ππ所以B＋C＝，故A＝. 331a由题意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8. 23sinA由余弦定理得b＋c－bc＝9， 2222a2 5

即(b＋c)－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝33. 故△ABC的周长为3＋33. [能力挑战] 11．(2018·东北四市高考模拟)已知点P(3，1)，Q(cosx，sinx)，O为坐标原点，→→函数f(x)＝OP·QP. (1)求函数f(x)的最小正周期； 33(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 4→解析：(1)由题易知，OP＝(3，1)， 2QP＝(3－cosx,1－sinx)， π??x＋所以f(x)＝3(3－cosx)＋1－sinx＝4－2sin?， 3???所以f(x)的最小正周期为2π. ππ?π?(2)因为f(A)＝4，所以sin?A＋?＝0，则A＋＝kπ，k∈Z，即A＝－＋kπ，k∈Z，3?33?2π因为0

22222222→ 5