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第五次课 勾股定理及其应用

?本章知识要点

A. 勾股定理及其逆定理。

B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。 C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。 D.勾股定理及其逆定理的应用。

E.感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。 内容/概念 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 表示方法/举例 b表示直角三角形如果用a，的两直角边，c表示斜边，那么a2?b2?c2 勾股定理的 逆定理 如果一个三角形的三边满足：两用a,b,c（c为最长边）表示短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形 三角形的三边，如果a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形 勾股数 满足a2?b2?c2的三个正整数，常见的勾股数有：3,4,5；称为一组勾股数 5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17等 基本勾股数组 满足a2?b2?c2且a,b,c互质的三个正整数，称为一组基本勾股数组 常见的基本勾股数组有：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17等

?重点知识 勾股定理的验证

验证方法 验 证 过 程 如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所（美）伽菲尔以1?a?b???a?b??2?1ab?1c2，即222德总统拼图 a2?b2?c2 赵爽弦图 如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以?b?a?为边长的小正方形和一个边长为c的大正方形，因为大正方形的边长为c，所以面积为c2，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为a,b的直角三角形和一个边长为?b?a?的正方形，所以其面积为11224?ab??b?a?所以c2?4?ab??b?a?，22从而c2?a2?b2. 刘徽：青朱出入图 如右图，通过拼图，以c为边长的正方形面积等于分别以a,b为边长的两个正方形的面积之和 用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只要 名师提示 没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理

?重点知识 确定几何体上的最短路线

几 何 体 的 侧 面 展 开 图 圆柱 B A A 乙 B 丙 D E 描述 长方体 将长方体相邻侧面展开，转化成一个长方形 示意图 F D E 展开 9 C A 7 5 B F D E 甲 F A B C D E F 圆柱的侧面展 开图是一个长 方形 B? B 展开 A A AB2?B?A2?B?B2 名师提示 (1)对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径. (2)勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范 (3)直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中，也就是把一些实际问题转化为数学问题来解决。