内容发布更新时间 : 2024/5/21 23:19:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
实变函数试题库及参考答案（1） 本科
一、填空题
1．设A,B为集合，则?A\\B?B AB（用描述集合间关系的符号填写） 2．设A是B的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E中聚点都属于E，则称E是 4．有限个开集的交是 5．设E1、E2是可测集，则m?E16．设E?n E2? mE1?mE2（用描述集合间关系的符号填写）
是可数集，则m*E 0
17．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如果?a?则称f?x?在E上可测
8．可测函数列的上极限也是 函数
，E??xf?x??a??是 ，
9．设fn?x??f?x?，gn?x??g?x?，则fn?x??gn?x?? 10．设f?x?在E上L可积，则f?x?在E上 二、选择题
1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若E?Rn是开集，则（ ）
3．设?fn?x??是E上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设E???0,1?中无理数?，则（ ）
A E是不可数集 B E是闭集 C E中没有内点 D mE?1 2．设E?n是无限集，则（ ）
A E可以和自身的某个真子集对等 B E?a（a为自然数集的基数）3．设f?x?是E上的可测函数，则（ ）
A 函数f?x?在E上可测 B f?x?在E的可测子集上可测 C f?x?是有界的 D f?x?是简单函数的极限
4．设f?x?是?a,b?上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）
A f?x?在?a,b?上可测 B f?x?在?a,b?上L可积 C f?x?在?a,b?上几乎处处连续 D f?x?在?a,b?上几乎处处等于某个连续函数
四、判断题
1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）
2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）
3. 相等的集合是对等的. （ ）
4. 称f?x?,g?x?在E上几乎处处相等是指使f?x??g?x?的x全体是可测集. （ ） 五、定义题
1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.
3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. ?a,b?上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题
2??x1. 设f?x???3??xx?Ex??0,1?\\E，其中E为?0,1?中有理数集，求
?0,1??f?x?dx.
x??r1,r2,rn???12. 设?rn?为?0,1?中全体有理数，fn?x???，求lim?fn?x?dx.
n??0x?0,1\\r,r,r???12n????0,1?七、证明题
1．证明集合等式：(A\\B)B?AB
2．设E是[0,1]中的无理数集，则E是可测集，且mE?1 3．设f(x),g(x)是E上的可测函数，则E[x|f(x)?g(x)]是可测集 4．设f(x)是E上的可测函数，则对任何常数a?0，有
mE[x|f(x)|?a]?1|f(x)|dx a?En??5．设f(x)是E上的L?可积函数，{En}是E的一列可测子集，且limmEn?0，则
实变函数试题库及参考答案（1） 本科
一、填空题
1.= 2.? 3.闭集 4.开集 5.? 6.= 7.可测集 8.可测 9.f?x??g?x? 10.可积 二、单选题 ABB
三、多选题
ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题
1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A，A的幂集2A的基数大于A的基数.
2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点. 3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限
4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题
1.解：因为mE?0，所以f?x??x3,a.e于?0,1?，于是
?0,1??f?x?dx??x3dx，
?0,1?而x3在?0,1?上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此
?0,1??f?x?dx?1. 42.解：显然fn?x?在?0,1?上可测，另外由fn?x?定义知，fn?x??0,a.e于?0,1??n?1? 所以
?0,1??f?x?dx??0dx?0
n?0,1?因此limn???0,1??f?x?dx?0
n七、证明题 1.证明
2.证明 设F是[0,1]中的有理数集，则F是可数集，从而m*F?0，因此F是可测集，从而Fc可测，又E?[0,1]\\F?[0,1]Fc，故E是可测集.由于E1?m[0,1]?m(EF)?mE?mF?0?mF，故mF?1
F??，所以
3.证明 设{rn}为全体有理数所成之集，则