内容发布更新时间 : 2024/12/28 10:40:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第16课时 变量间的相关关系
知识点一 变量之间的相关关系与散点图
1．下列关系中，属于相关关系的是________．(填序号) ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系；
③自由落体中物体下落的距离(h)与时间(t)的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 答案 ②④
解析 在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，自由落体运动中，物体下落12
的距离(h)与时间(t)满足h＝gt(g为重力加速度)，是函数关系；在④中，降雪量与交通事
2故的发生率之间具有相关关系．
2．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示．
年龄x/岁 身高y/cm
(1)画出散点图；
(2)判断y与x是否具有线性相关关系． 解 (1)散点图如图所示．
1 78 2 87 3 98 4 108 5 115 6 120
(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．
知识点二 回归直线方程的求解与应用
^^^
3．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到回归直线方程y＝bx＋a，那么下面说法不正确的是( )
^^^
A．直线y＝bx＋a必经过点(x，y)
^^^
B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
n?xiyi－nx y^^^
C．直线y＝bx＋a的斜率为
i＝1
ni－nx?x2i＝1
2
^^^^^2
D．直线y＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差?[yi－(bxi＋a)]是该
i＝1
n坐标平面上所有直线与这些点的偏差中偏差最小的直线
答案 B
n?xiyi－nx y^
解析 因为b＝
i＝1
^^^^^，a＝y－bx，所以直线y＝bx＋a，必过定点(x，y)，
ni－nx?x2i＝1
2
^^^
A，C项显然正确，由回归直线方程的推导知D项也正确，只有B项不能确定直线y＝bx＋a可能经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的许多点，也可能都经过或都不经过．
4．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示．
x y
若已求得它们的回归直线的斜率为6．5，这条回归直线的方程为________． ^
答案 y＝6．5x＋17．5 解析 由题意可知x＝
2＋4＋5＋6＋8
＝5，
5
2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 y＝
30＋40＋60＋50＋70
＝50．
5
即样本中心为(5，50)． ^^
设回归直线方程为y＝6．5x＋a，
∵回归直线过样本中心(x，y)， ^^
∴50＝6．5×5＋a，即a＝17．5， ^
∴回归直线方程为y＝6．5x＋17．5．
5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x 3 4 5 6 y 2．5 3
(1)请画出上表数据的散点图；
4 4．5 ^^^
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程y＝bx＋a； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤．
(参考数值：3×2．5＋4×3＋5×4＋6×4．5＝66．5) 解 (1)散点图如图所示．
4
(2)?xiyi＝3×2．5＋4×3＋5×4＋6×4．5＝66．5，
i＝1
x＝
4
3＋4＋5＋62.5＋3＋4＋4.5
＝4．5，y＝＝3．5， 44
2222
i＝3＋4＋5＋6＝86， ?x2
i＝1
^^
b＝
66.5－4×4.5×3.566.5－63
＝＝0．7， 2
86－4×4.586－81
^
a＝y－bx＝3．5－0．7×4．5＝0．35．
^
故回归方程为y＝0．7x＋0．35．
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨甲产品的生产能耗为0．7×100＋0．35＝70．35(吨)标准煤，故能耗减少了90－70．35＝19．65(吨)标准煤．