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第3章 中值定理与导数的应用
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内容概要 名称 3.1 中值 定理 名称 罗尔中值定理 主要内容（3.1、3.2） 条件 （1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导；（3）f(a)?f(b) 结论 至少存在一点ξ?(a,b)使得f(ξ)?0 /拉格朗日中值定理 柯西中值定理 （1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导 至少存在一点??(a,b)使得f(ξ)?/f(b)?f(a)b?a （1）在[a,b]上连续，在(a,b)f(x)、g(x)：内可导；（2）在(a,b)内每点处g(x)?0 /至少存在一点ξ?(a,b)使得f(ξ)g(ξ)//?f(b)?f(a)b?a 3.2 洛必达 法则 基本形式 00型与??型未定式 通分或取倒数化为基本形式 1）???型：常用通分的手段化为2）0??型：常用取倒数的手段化为0000型或型或????型； 型，即： 0???取对数化为 基本形式 001/??000或0???0?ln0?1/0???； 1）0型：取对数得0?e或0?ln0?0?????，其中0?ln0?0???01/??00?1/0???； 2）1型：取对数得1?e其中??ln1???0???ln1， 01/?0???或??ln1???0?； 1/0?3）?型：取对数得?00?0 ?e00?ln?， 其中0?ln??0???1/?0???或0?ln??0???。 1/0?
?0
课后习题全解
习题3-1
★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值?。
（1）f(x)?2x2?x?3,[?1,1.5]； （2）f(x)?x3?x,[0,3]。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程f/(ξ)?0，得到的根ξ便为所求。
2解：（1）∵f(x)?2x?x?3在[?1,1.5]上连续，在(?1,1.5)内可导，且f(?1)?f(1.5)?0，
∴f(x)?2x2?x?3在[?1,1.5]上满足罗尔定理的条件。令f?(ξ)?4ξ?1?0得
ξ?14?(?1,1.5)即为所求。
3?x在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)?f(3)?0， 3?x在[0,3]上满足罗尔定理的条件。令
（2）∵f(x)?x ∴f(x)?xf?(ξ)?3?ξ?ξ23?ξ?0，得ξ?2?(0,3)即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数
y?4x?5x?x?2在区间[0,1]上的正确性。
32知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程f?(ξ)?可验证定理的正确性。
f(1)?f(0)1?0，若得到的根ξ?[0,1]则
解：∵y?f(x)?4x?5x?x?2在[0,1]连续，在(0,1)内可导，∴y?4x?5x?x?2在
区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。又f(1)??2,f(0)??2，f?(x)?12x?10x?1，
23232∴要使f?(?)?f(1)?f(0)1?0?0，只要：??5?1213?(0,1)，
∴???5?1213?(0,1)，使f?(ξ)?f(1)?f(0)1?0，验证完毕。
★3.已知函数
f(x)?x在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
f(2)?f(1)2?134解：要使f?(ξ)?
，只要4ξ3?15???1543，从而ξ?154?(1,2)即为满足定理
的?。
2★★4.试证明对函数y?px?qx?r应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
证明：不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数y?px2?qx?r在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，从
f(b)?f(a)b?a而有f?(ξ)?，即2ξ?q?(pb2?qb?r)?(pab?a2?qa?r)，
解得ξ?★5.函数
b?a2，结论成立。
32f(x)?x与g(x)?x?1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满
足定理的数值ξ。
知识点：柯西中值定理。
思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程
f?(ξ)g?(ξ)?f(b)?f(a)g(b)?g(a)，得到的根ξ便为所求。
解：∵f(x)?x3及g(x)?x2?1在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有
f?(ξ)g?(ξ)f(2)?f(1)g(2)?g(1)3ξ2g?(x)?2x?0，所以满足柯西中值定理的条件。要使
149?，只要
2ξ?73，解
得ξ??(1,2)， ξ即为满足定理的数值。
★★★6.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0。求证：
存在ξ?(0,1)，使f?(ξ)??f(ξ)ξ。
知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：从f/(ξ)??f(ξ)ξ结论出发，变形为f(ξ)ξ?f(ξ)?0，构造辅助函数使其导函数为
/f(x)x?f(x)， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常
用的方法。
/证明：构造辅助函数F(x)?xf(x)，F?(x)?f(x)?xf?(x)
根据题意F(x)?xf(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且F(1)?1?f(1)?0，
F(0)?0?f(0)?0，从而由罗尔中值定理得：存在ξ?(0,1)，使
F?(ξ)?f?(ξ)ξ?f(ξ)?0，即f?(ξ)??f(ξ)ξ。
注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使f?(x)??f?(x)f(x)1xf(x)x，只要
???[lnf(x)]???[lnx]??[lnxf(x)]??0?[xf(x)]?xf(x)?0?[xf(x)]??0
∴只要设辅助函数F(x)?xf(x)
★★7.若函数
f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)
(a?x1?x2?x3?b)，证明：在(x1,x3)内至少有一点ξ，使得f??(ξ)?0。
知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：连续两次使用罗尔中值定理。
证明：∵ f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，∴f(x)在[x1,x2]、[x2,x3]内连续，
在(x1,x2)、(x2,x3)内可导，又f(x1)?f(x2)?f(x3)， ∴由罗尔定理，至少有一点ξ1?(x1,x2)、ξ2?(x2,x3)，
使得f?(ξ1)?0、f?(ξ2)?0；又f?(x)在[ξ1,ξ2]上连续，在(ξ1,ξ2)内可导， 从而由罗尔中值定理，至少有一点ξ?(ξ1,ξ2)?(x1,x3)，使得f??(ξ)?0。
★★8.若4
次方程a0x4?a1x?a2x?a3x?a4?0有4个不同的实根，证明：
4a0x?3a1x?2a2x?a3?0
3232的所有根皆为实根。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。
432证明：令f(x)?a0x?a1x?a2x?a3x?a4
则由题意，f(x)有4个不同的实数零点，分别设为x1,x2,x3,x4，
∵f(x)在[x1,x2]、[x2,x3]、[x3,x4]上连续，在(x1,x2)、(x2,x3)、(x3,x4)上可导， 又f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?0，
∴由罗尔中值定理，至少有一点ξ1?(x1,x2)、ξ2?(x2,x3)、ξ3?(x3,x4) 使得f?(ξ1)?f?(ξ2)?f?(ξ3)?0，即方程4a0x
3?3a1x?2a2x?a3?0至少有3个实根，又
2
三次方程最多有3个实根，从而结论成立。
★★★9.证明：方程x5?x?1?0只有一个正根。
知识点：零点定理和罗尔定理的应用。
思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来
讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。
解：令f(x)?x5?x?1，∵f(x)在[0,1]上连续，且f(1)?1?0，f(0)??1?0，
∴由零点定理，至少有一点ξ?(0,1)，使得f(ξ)?ξ55?ξ?1?0；
假设x?x?1?0有两个正根，分别设为ξ1、ξ2（ξ1?ξ2），
则f(x)在在[ξ1,ξ2]上连续，在(ξ1,ξ2)内可导，且f(ξ1)?f(ξ2)?0， 从而由罗尔定理，至少有一点ξ?(ξ1,ξ2)，使得f?(ξ)?5ξ?1?0，这不可能。 ∴方程x?x?1?0只有一个正根。
★★10.不用求出函数
54f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根，
并指出它们所在的区间。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。
解： ∵f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)在[1,2]、[2,3]、[3,4]上连续，
在(1,2)、(2,3)、(3,4)内可导，且f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0， ∴由罗尔中值定理，至少有一点ξ1?(1,2)、ξ2?(2,3)、ξ3?(3,4)， 使得f?(ξ1)?f?(ξ2)?f?(ξ3)?0，即方程f?(x)?0至少有三个实根， 又方程f?(x)?0为三次方程，至多有三个实根，
∴f?(x)?0有3个实根，分别为ξ1?(1,2)、ξ2?(2,3)、ξ3?(3,4)。
★★★11.证明下列不等式：
（1） arctana?arctanb?a?b ； （2） 当 x?1时，ex?ex ； 1x)?11?x。
（3） 设 x?0，证明ln(1?x)?x； （4） 当x?0时，ln(1?知识点：利用拉格朗日中值定理。
思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数y?f(x)，通过式子f?(ξ)?（或f(b)?f(a)?f?(ξ)(b?a)）证明的不等式。
f(b)?f(a)b?a