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小波变换对图像进行压缩的方法

摘要

传统的傅里叶分析往往不能同时在时域和频域提供很好的局部分析能力，这个不足极大地限制了其在非平稳信号领域的应用。而小波分析却天生具有自适应分析能力，在分析低频信号时具有较好的频域分辨力，在分析高频信号时具有较好的时域分辨力，这种特性为信号处理提供了更多的自由度，适应于很广泛的信号。同时由于小波变换能够将信号的能量集中到少数几个较大的小波系数上，同时不同分解级数上对应相同空间区域的小波系数之间存在紧密联系，这些独特优势使小波在信号处理领域得到了广泛的应用，例如信号去噪、边缘检测、图像压缩等等。

数字图像压缩一直是信息技术处理研究的热点，尤其是信息化社会使得“数字化”的概念深入人心，在享受计算机、网络和数码产品带来的多彩视觉大餐的同时，也引入了海量的视觉信息急需进行压缩编码，以便于数据更好的存储和传输。基于小波变换的分解与重构原理，利用小波变换对二维图像进行分解，将原始图像分解成不同方向、不同频率成分的子图像。达到对图像进行压缩和还原的过程。

关键词：小波分析；图像压缩；分解与重构

第一章图像压缩的概念

1.1 图像压缩概述

通常所说的图像压缩主要指无损压缩（无失真）和有损压缩（有失真）两大类。所谓无损压缩是指图像数据经压缩后可以完全得到复原，复原后的图像与原始图像完全一致。有损压缩则是指经它处理的数据在基本保持原图像的特征的前提下，不可避免地要丢掉一部分原始图像信息。

图像能够进行压缩的主要原因是：

（1）原始图像信息存在着很大的冗余度，数据之间存在着相关性，如相邻像素之间色彩的相关性等，消息中这些冗余信息将会产生额外的编码。如果去掉冗余信息，就会减少消息所占的空间。

（2）在美图系统的应用领域中，人眼作为图像信息的接收端，其视觉对于边缘急剧变化不敏感（视觉掩盖效应），以及人眼对图像的亮度信息敏感，而对颜色分辨率弱等，因此在高压缩比的情况下，解压缩后的图像信号仍比较满意。

基于上述两点，无论采用无损压缩还是有损压缩。只要损失的数据不太影响人眼主观接受的效果，即可采用。一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分

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辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率（即高频）子图像上大部分分点的数值都接近于0，越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。

1.2基于小波压缩图像

小波变换用于图像编码的基本思想即去相关性：即把图像根据Mallat塔式快速小波变换算法进行多分辨率分解。其具体过程为:首先对图像进行多级小波分解, 然后对每层的小波系数进行量化, 再对量化后的系数进行编码。

由于小波变换后使得原始图像能量集中在少数部分的小波系数上，因此最简单的系数量化方法就是将某一阈值以下的系数略去，或者表示为恒定常数，只保留那些能量较大的小波系数，从而达到数据压缩的目的。在这里，所采用的标量量化方法是分别在不同分辨率（不同分解层次）的小波频带来完成的。可见，小波编码主要有三个部分：变换、量化和熵编码。

基于小波分析的图像压缩方法有很多 ,包括低频信息保留 压缩 、小波包最佳基方法 、小波分解与重构 、小波变换零树压 缩 、小波变换向量量化压缩等。小波图像压缩是当前图像压缩的热点之一, 已经形成了基于小波变换的国际压缩标准, 如MPEG-4 标准, 及JPEG2000 标准。

1.3运用小波变换进行图像压缩的优点

(1) 小波变换是介于函数的时间域(或空间域) 表示和频率域表示之间的一种表示方法,小波函数在空间域和频率域均有良好的局部性,从而能在变换域反映出图像的局部细节,这是一般频率域表示法无法做到的。小波变换的这一特性和人的有限视觉特性很相似,这个特性和Gabor 变换也很相似,但小波变换在整体上性能更好。尽管小波变换的局部性没有Gabor 变换好,但它是由正交基构成的,分解和重构更方便一些。

(2) 离散小波变换可用金字塔算法逐层分解实现,其性能优于拉普拉斯金字塔编码和子带编码。

(3) 小波分解可用QMF 来实现。这点和子带编码很相近,但小波变换在恢复时仍用H、G,且不同层不变,比较划一。子带变换则比较灵活,允许综合滤波器和分析滤波器不同,且不同层之间滤波器也可变换。

第二章小波变换理论及其性质

2.1 小波变换的含义

小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口

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大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号时，小波变换具有对信号的自适应性，也是是一种优于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的信号处理方法。

小波变换的含义是把某一被称为基本小波（mother wavelet）的函数作位移?后，再在不同的尺度a下，与待分析信号X（t）作内积，即

WTx(a,?)?1a?????x(t)?(t??) a式中，a>0,称为尺度因子，其作用是对基本小波?（t）函数作伸缩，?反映位移，其值可正可负，a和?是连续的变量，故又称连续小波变换。在不同的尺度下小波的持续时间随值的加大而增宽，增宽幅度与a反比减少，但波的形状保持不变， 2.2连续小波

（1）连续小波变换定义为

可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸缩因子b的函数

小波分解过程

（2）小波逆变换

如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换的逆变换是存在的

第三章小波进行图像分解与重构

3.1 Mallat快速算法

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