内容发布更新时间 : 2024/6/22 18:46:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二章 圆锥曲线与方程2.2.2 抛物线的简单性质

教学过程：

一、复习引入： 1．抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物

yyylyO图形 lOFxFxFOxFOlx 2l 2 x?2py(p?0) p2 x2方程 焦点 准线 y?2px(p?0) yp22??2px(p?0) p2??2py(p?0) p2p2(,0) p2(?,0) (0,) p2(0,?) x?? x?p2 y?? y? 线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程： 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

14，即

2p4?p2 不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为?2px、左端为y；图形关于Y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为?2py，左端为x （2）

22开口方向在y轴（或y轴）正向时，焦点在y轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在y轴（或y轴）负向时，焦点在y轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号 二、讲解新课：

抛物线的几何性质 1．范围

因为p＞0，由方程y?2px?p?0?可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等

2式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性

用心 爱心 专心 - 1 -

以－y代y，方程y2?2px?p?0?不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y2?2px?p?0?中，当y=0时，x=0，因此抛物线y2?2px?p?0?的顶点就是坐标原点． 4．离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．

对于其它几种形式的方程，列表如下： 标准方程 y图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 y2?2px?0??p OFx?0,0? x轴 ?p??,0? ?2?x??p2 e?1 lyy2??2px?0??p FOx?0,0? x轴 ?p???,0??2?x?p2 e?1 l x2?2py?0??p ?0,0? y轴 ?p??0,? ?2?y??p2 e?1 x2??2py?0??p ?0,0? y轴 p??0,??? 2??y?p2 e?1 注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线

通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所

用心 爱心 专心

- 2 -

在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率 附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）

假设抛物线y＝2px存在渐近线y＝mx＋n，A（x，y）为抛物线上一点，

2

yA0AOxA0（x，y1）为渐近线上与A横坐标相同的点如图，

则有y??2px和y1＝mx＋n． ∴ y1?y?mx?n??x?m?nx2px2px

?

当m≠0时，若x→＋∞，则y1?y??? 当m＝0时，y1?y?n?2px，当x→＋∞，则y1?y???

这与y＝mx＋n是抛物线y2＝2px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线 三、讲解范例：

例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,?22)，求它的标准方程，并用描点法画出图形．

分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．

解：由题意，可设抛物线方程为y2?2px，因为它过点M(2,?22)， 所以 (?22)2?2p?2，即 p?2 因此，所求的抛物线方程为y2?4x．

将已知方程变形为y??2x，根据y?2x计算抛物线在x?0的范围内几个点的坐标，得

x y 0 0 1 2 2 2.8 3 3.5 4 4 … … 描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分 点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．

例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．

分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)

用心 爱心 专心

- 3 -