内容发布更新时间 : 2024/9/20 8:10:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题20 直线与圆的位置关系（1）

阅读与思考

圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系.直线与圆相切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、切割线定理等.

证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有： 1.利用定义，判断直线和圆只有一个公共点；

2.当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂直；

3.当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径. 熟悉如下基本图形和以上基本结论.

例题与求解

【例1】如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，交BA的延长线于E.若AB＝3，DE＝2，则BC的长为( ) （青岛市中考试题）

A．2 B．3 C．3.5 D．4

CDEOOB

AADBC

例1题图 例2题图

解题思路：本例包含了切线相关的丰富性质，从C点看可应用切线长定理，从E点看可应用切割线定理，又EC为⊙O的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔.

【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝45°，∠ABC＝120°，⊙O的半径为1. (1) 求弦AC，AB的长;

(2) 若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论.

（哈尔滨市中考试题）

解题思路：第(2)题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得PB与BC，或PC与BC的关系，或求得PB或PC的长，点P的位置即可确定.

【例3】已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点.过点P作BC的平行线交BT于点E，交直线AC于点F.

(1) 当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA?PB＝PE?PF；

(2) 当点P为线段BA的延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. （北京市中考试题）

APFOBCACOT

EBT

解题思路：本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论.

【例4】已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上.连接AP，MP，AM，AP与MN相较于点F，⊙O过点M，C，P.

(1) 请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)

AFAP

与是否相等？请说明理由； ANAD

(3) 随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H.设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形（图2、图3供参考）.

（宜昌市中考试题）

BMCBMOCFBMOCFFANDANPDANPD

解题思路：对于(3)，只依靠AB的长不能画出图形，需求出关键的量，因为∠C＝90°，⊙O过点M，C，P，故将画出矩形的条件转化为求出CP（或MP）的长.当矩形确定后，依据线段CP的长，就可确定P点的位置.

【例5】如图，已知△ABC内接于⊙O，AD，BD为⊙O的切线，作DE∥BC，交AC于点E，连接EO并延长交BC于点F.求证：BF＝FC. （太原市竞赛试题）

解题思路：要证明BF＝FC，只需证FO⊥BC即可，连接OA，OB，OD，将问题转化为证明∠DAO＝∠EFC.

ADEO

【例6】如图，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，∠C的平分线与AB交于点P，M是△ABC的内切⊙I与边BC的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D，求证：PD是⊙I的切线. （全国初中数学联赛试题）

解题思路：设⊙I切AB于点S，连接IM，IS，ID，直接证明∠PDI＝90°困难，不妨证明∠PDI＝∠PSI，即证明△PIS≌△PID.

BFCAPD

SIMC

B

能力训练

A 级

1. PA，PB切⊙O于A，B，∠APB＝78°，点C是⊙O上异于A，B的任意一点，则∠ACB＝__________.

2.如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.要使DE⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是__________. （武汉市中考试题）

CEDBOCP

AOBA

第2题图 第3题图

AB上任意一点，∠PAB＝62°，则∠C的度数是__________. 3. 如图，PA切⊙O于点A，C是?