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南京航空航天大学2011级硕士研究生

共 5 页 第 1 页 2011 ~ 2012学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A卷 考试日期：2012年1月9日，课程编号：A000003，命题教师： 阅卷教师： 学院 专业 学号 姓名 成绩 ?36?15??一（20分）设A??12?5??。 ?12?5??? （1） 求A的特征多项式和A的全部特征值； （2） 求A的行列式因子，不变因子，初等因子和最小多项式； （3） 写出A的Jordan标准形J。 3（1）?I?A??， 3’ A的特征值?1?1,?2??3?0； 3’ （2）A的行列式因子1,?,?； 3’ 3A的不变因子1,?,?2； 3’ A的初等因子?,?2； 2’ A的最小多项式?2; 1’ ?010???（3）A的Jordan标准形?000?。 5’ ?000???

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?21???二（20分）（1）设A???12?，求A1,A2,A?,AF； ?0?3???（2）设A?(aij)?Cm?n，证明： （i）对m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，有UAVF?AF；

r2kmn2k?1i?1j?1（ii）若rank(A)?r，?1,?2,?,?r为A的全部正奇异值，则?????aij。 （1）A1?6, 2’ ?140?AHA???,A2?14; 4’ ?05?A??3; 2’ AF?19. 2’ (2)(i) UAVF?[tr((UAV)UAV)]?[tr(VAUUAV)]121212H12HHH12 5’ ?[tr(VHAHAV)]?[tr(V?1AHAV)]?[tr(AHA)]?AF.(ii) 因为rank(A)?r，则由奇异值分解定理知，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，??0?使得UAV???，其中??diag(?1,?2,L,?r)，从而 ?00?H??0?2???i??00i?1??r2?UAVFH2F?A2F???|aij|2 5’ i?1j?1mn 共 5 页 第 3 页