内容发布更新时间 : 2024/12/26 4:09:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编
数学竞赛讲义之行程问题(Ⅲ)
§5、多车相遇
例72、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程要走15分钟,有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候,恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车,到达甲站时,恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟?
例题求解:我们知道,一辆车走完全程需要15分钟,所以一辆车刚发出时,
途中有15÷5-1=2辆车
所以当某人骑车出发,而甲站恰发车时,在途中有两辆车子,可以相遇, 所以共相遇10辆车,于是又发车8辆相遇, 恰到达时,又发车,于是发车9辆时,甲到达, 即有8个时间间隔,时间为5×8=40分钟。 所以某人骑完全程时间为40分钟。
例73、某人沿电车路线行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的,求这个发车间隔。 例题求解:
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我们知道两辆电车的间隔相等,两次相遇期间,共行走了[(行人+电车)×4],所以两辆电车
(行人+电车)的间隔为[(行人+电车)×4],于是两辆车间隔时间为?4;
电车两次追击期间,共行走[电车×12],行人走了[行人×12],所以电车行走了(电车-行人)
×12,两辆电车的间隔为(电车-行人)×12,于是两辆车的间隔时间为(电车-行人)?12。
电车于是,有
(行人+电车)(电车-行人)?4=?12,所以(行人+电车)=3(电车-行人)
电车电车(行人+电车)(电车-行人)?4=?12=6分钟。
电车电车有电车=2行人,带入,有间隔=
例题评析:此题关键是注意还原求出两车情况。
例74、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车,甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行,甲每分钟步行82米,每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车;乙每分钟步行60米,每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车,那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车? 例题求解:我们画出示意图;
我们假设甲、乙、电车共同相遇在A点,甲、电车下一次相遇在C点,
乙、电车相遇在B点。 1则B距A点距离为BA=60×10=615米;
4 C距A点距离为CA=82×10=820米。
所以BC两点相距的路程需电车10分钟15秒-10分钟=15秒=路程为820-615=205。 于是,电车的速度和为205÷
1=820米/分。 41分, 4于是,当10分钟前与甲、乙相遇的电车离甲(820+82)×10=9020米远 两电车间隔为9020。所以发车间隔为9020÷820=11分。
柳卡问题:这是一个著名的数学问题,由法国数学家柳卡在19世纪一次数学大会上提出:
每天中午由一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国纽约,且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔。轮船在途中都需要七天七夜。假定所有轮船都以同一速度、同一航线行驶。问某艘从勒阿佛尔开出的轮船,在到达纽约时,能遇到几艘从纽约开来的轮船?
后来,一位数学家画出了“路程图”(运程图),才得以解决。
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中途13艘,首尾2艘,共15艘。
Excel的解法:
这个题目用不着计算,只需在Excel上作图,将相关信息表示出来,结果自然就明白了。作图过程可以充分利用Excel的“粘贴”、“复制”功能,数列“0、1、2、3、4、5、6、7”和数列“7、6、5、4、3、2、1、0”的设置只是举手之劳。从图上可以看出,在某轮船开出的前7天,纽约港已有7艘轮船驶入航程,加上当天的一艘,共计8艘。之后,纽约港每天还有1艘轮船驶入航程,共计7艘。这样,从勒阿佛尔港驶出的轮船,在整个运行过程中,将要和本公司的15艘轮船相遇。从图上看,当中一列(蓝色)共有16行相交,除去哈佛港当天自己开出的一列(红色),相交数也是15。
例75、一条双向铁路上有11个车站。相邻两站都相距7千米,从早晨7时开始,有18列货车由第11站顺次发出,每隔5分钟发出一列,都驶向第1站,速度都是每小时60千米。早晨8时,由第1站发出一列客车,向第11站驶去时速是100千米,在到达终点站前,货车与客车都不停靠任何一站。问:在哪两个相邻站之间,客车能与3列货车先后相遇? 例题求解:
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图象法:我们画出示意图,利用示意图来求解,但是要求图象一定的精确度,所以,我们一
般使用图象法与分析法结合使用,对有可能的情况分析。
通过上图(我们最好画出清晰图),我们知客车在第5、6两站遇见三辆货车。
分析法:客车从一个车站走到下个车站所需时间为: 1 7÷100×60=4分钟。
5所以客车到第一站的时间为;
123第一站:8时0分;第二站:8时4分;第三站;8时8分;第四站:8时12分;
555412第五站:8时16分;第六站:8时21分;第七站:8时25分;第八站:8时29分;
55534第九站:8时33分;第十站:8时37分;第十一站:8时42分。
55而客车出发时,第一辆货车距它:
10×7-60×1=10千米。 所以,客车与第一辆相遇为8时
210÷(100+60)×60=3分。
4相邻两货车间距为:60×5÷60=5千米。 所以,客车经过两辆货车的时间间隔为:
75÷(100+6)×60=1分。
8则客车与18辆货车相遇时间顺次为:
3543218时3分;8时5分;8时7分;8时9分;8时11分;8时13分;
488888765438时15分;8时16分;8时18分;8时20分;8时22分;8时24分;
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217658时26分;8时28分;8时30分;8时37分;8时33分;8时35分。
8888877所以,客车在8时16分到达第五站,8时21分到达第六站。在此期间,它于8时16分;
88658时18分;8时20分三次与货车相遇。
88所以,是在第5、6两站间,客车三次与货车相遇。
例76、长途汽车有甲、乙两个终点站,汽车要用4时才能驶完全程。从上午6点开始,每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车,最后一班车在下午4点发出。问:从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车?最少能看到几辆? 例题求解:如下图所示,实线段表示从甲站开往乙站的车,虚线段表示从乙站开往甲站的车,
交点表示相遇。
最多9辆,最少5辆。
例77、由A、B、C、D、E五名小学生进行马拉松比赛。不管前半程怎样,当他们从折返点返回跑后前半程时,每人的速度都是固定不变的。他们三位朋友X、Y、Z分别在不同时间给五个人拍了一张纪念照。
最先拍的是X,然后是Y,最后按快门的是Z。照片洗出后他们分别这样说: X:“我是在他们返回跑了10分钟后照的,当时五人的顺序是A、B、C、D、E,而且他们的间隔相等,都是20m。”
Z:“我是在他们返回跑了30分钟后照的,当时五人的顺序是B、E、C、A、D,而且他们的间隔相等,都是30m。“
Y:“我是什么时候照的,自己也每记住,不过我照的时候他们的间隔也相等。“ 问:“Y是在他们返回跑了几分钟时照的?
例题求解:我们先用下图表示一下5个人顺序的变化。
从左图中可以看出,A、C、E经常处于间隔相同的状态,当A正好在B和C正中间时,E也正好在C和D的正中间,因此5人中的间隔是
相同的。为了分析这个时间,我们在两侧B和C
的正中间画上一条线来表示,如右图当此线和A
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