内容发布更新时间 : 2024/12/26 3:47:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
竞赛中含绝对值的问题
绝对值是初中代数中的一个基本概念,在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要注意知识的创新运用, 掌握好方法,顺利解决这些问题.
一、直接推理法
例1:已知a??b,a?0,a?b?a?b?ab则等于( )
b(A)2a?2b?ab.(B)?ab.(C)?2a?2b?ab.(D)?2a?ab.
解:因为a?0,所以a,b同号.又因为a??b,即a?b?0,所以a,b必须同为负.
b所以a?b?a?b?ab??a???b???a?b??ab??2a?ab. 答案为D.
说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号. 二、巧用数轴法
例2:设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简b?a?a?c?c?b. 解: 由图可知,a?0,b?0,c?0,且c?a?b?0. 所以
b?a?0,a?c?0,c?b?0.
可得b?a?b?a,a?c???a?c?,c?b?b?c.
所以 原式=?a?b???a?c???b?c??a?b?a?c?b?c??2c.
说明:本题是通过数轴,运用数形结合的方法确定字母的大小顺序,从而达到去掉绝对值的目的. 三、零点分段法
例3:已知0?a?4,那么a?2?3?a的最大值等于 ( ) (A)1.(B)5.(C)8.(D)3.
解:(1)当0?a?2时, a?2?3?a?2?a?3?a?5?2a
a?2?3?a?2?a?3?a?5?2a,
在这一段内,当a?0时a?2?3?a取得最大值,最大值是5; (2)当2?a?3时, a?2?3?a?a?2?3?a?1; (3)当3?a?4时, a?2?3?a?a?2??3?a??2a?5, 在这一段内,当a?4时a?2?3?a取得最大值,最大值是3; 综上可知,当0?a?4时, a?2?3?a的最大值是5. 答案为B.
说明:本题是求两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事.解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的字母的值,这几个字母的值就是用以确定如何将字母的取值范围分段的零点. 四、分类讨论法
例4:如果a,b,c,d为互不相等的有理数,且a?c?b?c?d?b?1,那么a?d等于( )
(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.
解:已知b?c,可设b?c,由于a?c?b?c,所以a?c与b?c必互为相反数(否则a?b,不合题意),即a?c???b?c?,a?b?2c.又因为b?c,所以a?c. 由于b?c?d?b,所以b?c与d?b必相等(否则c?d,不合题意),即b?c?d?b,从而得2b?c?d.因为b?c,所以b?d. 因此有d?b?c?a.
所以a?d?a?d??a?c???c?b???b?d??1?1?1?3.
若设b?c,同理可得a?d?3.答案为C.
说明:本例的解法是采取把b,c分为b?c和b?c两种情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用.本题还可以分为a?b和a?b两种情况进行讨论,同学们不妨试一试.