内容发布更新时间 : 2024/12/22 22:11:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 命题逻辑基本概念

课后练习题答案

4.将下列命题符号化，并指出真值：

（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；

（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.

5.将下列命题符号化，并指出真值：

（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；

（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；

6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.

7.因为p与q不能同时为真.

13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：

（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）pq，真值为1；

（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.

16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) （0?1）∧(1∨1) 0∧10. （3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1） ? (0∧0∧0)0 (4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→01 17．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”

答：p: 是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1

t: 6能被4整除 0

命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(q→p) （5）(p∧r) ?(p∧q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答： （4）

p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式

??????????????????????????

等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) (p∧q→q)

(2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r)

?答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r 所以公式类型为永真式

(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0

??????1

1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1

所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r)) (4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r)

(p∨q)∧(p∨r)

p∨(q∧r)) p→(q∧r)

（4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q)

(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q) 1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1 (p∨q)∧(p∧q)

5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值

(1)(p→q)→(q∨p) (2)(p→q)∧q∧r

(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解：

（1）主析取范式

(p→q)→(q?p)

(p?q)?(q?p) (p?q)?(q?p) (p?q)?(q?p)?(q?p)?(p?q)?(p? (p?q)?(p?q)?(p?q) m0?m2?m3

∑(0,2,3)

主合取范式：

(p→q)→(q?p)

(p?q)?(q?p) (p?q)?(q?p)

(p?(q?p))?(q?(q?p)) 1?(p?q) (p?q) M1 ∏(1) (2) 主合取范式为： (p→q)?q?r(p?q)?q?r (p?q)?q?r0 所以该式为矛盾式.

主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：

(p?(q?r))→(p?q?r) (p?(q?r))→(p?q?r)

(p?(q?r))?(p?q?r) (p?(p?q?r))?((q?r))?(p?q?r))

1?1 1

所以该式为永真式.

永真式的主合取范式为 1

主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)

???????????????????????????????????????????????????q)

???????????????????????????????????????7.(1)：∨∨∨∨?∧∧； (2)：∨∨∨?∧∧∧；

8.(1)：1?∨∨∨,重言式； (2)：∨?∨∨∨∨∨∨；

(3)：∧∧∧∧∧∧∧?0，矛盾式.

11.(1)：∨∨?∧∧∧∧； (2)：∨∨∨∨∨∨∨?1； (3)：0?∧∧∧.

?∧∧∧∧?∨∨.

第三章 命题逻辑的推理理论

本章自测答案

?

6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系

(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确 (1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为 (p→q)∧p→q(记作*1)

在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.

可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即 (p→q)∧p→q ? q

(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为 (p→q)∧p→q(记作*2)

可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等 (p→q)∧q→p ?(┐p∨q) ∧q →p ?q →p ?┐p∨┐q ??∨∨

从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.

9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数 推理的形式结构为

(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)

可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明： (p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)

?(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律) ?(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r ?(┐p∨q)∨(┐q∧┐r) ?┐p∨(q∨┐q)∧┐r ?1

10.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数. 推理的形式结构为

(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r) ?(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)

?┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律) ?p∨(┐q∧┐r) ?∨∨∨

由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.

11.略

14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明 ① p→(q→r) 前提引入 ② P 前提引入

③ q→r ①②假言推理 ④ q 前提引入

⑤ r ③④假言推理 ⑥ r∨s 前提引入 （2）证明：

① ┐(p∧r) 前提引入 ② ┐q∨┐r ①置换 ③ r 前提引入

④ ┐q ②③析取三段论 ⑤ p→q 前提引入 ⑥ ┐p ④⑤拒取式 （3）证明：

① p→q 前提引入 ② ┐q∨q ①置换 ③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换 ④ ┐p∨(q∧p ③置换 ⑤ p→(p∨q) ④置换

15.(1)证明：

① S 结论否定引入 ② S→P 前提引入 ③ P ①②假言推理 ④ P→(q→r) 前提引入

⑤ q→r ③④假言推论 ⑥ q 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理 （2）证明：

① p 附加前提引入 ② p∨q ①附加 ③ (p∨q)→(r∧s) 前提引入

④ r∧s ②③假言推理 ⑤ s ④化简 ⑥ s∨t ⑤附加 ⑦ (s∨t)→u 前提引入 ⑧ u ⑥⑦拒取式

16.(1)证明：

① p 结论否定引入 ② p→ ┐q 前提引入 ③ ┐q ①② 假言推理 ④ ┐r∨q 前提引入

⑤ ┐r ③④析取三段论 ⑥ r∧┐s 前提引入 ⑦ r ⑥化简 ⑧ ┐r∧r ⑤⑦合取 （2）证明：

① ┐(r∨s) 结论否定引入 ② ┐r∨┐s ①置换 ③ ┐r ②化简 ④ ┐s ②化简 ⑤ p→r 前提引入 ⑥ ┐p ③⑤拒取式 ⑦ q→s 前提引入 ⑧ ┐q ④⑦拒取式 ⑨ ┐p∧┐q ⑥⑧合取 ⑩ ┐(p∨q) ⑨置换 口 p∨q 前提引入

⑾①口 ┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取

16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：

(1)前提：p??q,?r?q,r??s 结论：?p 证明：

①p 结论的否定引入 ②p?﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r?q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥r?￢s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r?﹁r ⑤⑦ 合取

由于最后一步r?﹁r 是矛盾式,所以推理正确.

17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。 前提：(p∧┐q) →r , p ,q →s , ┐s 结论：r 证明：

① q→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐q ①②拒取式 ④ p 前提引入

⑤ p∧┐q ③④合取

⑥（p∧┐q）→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理

18．（1）设 p：今天是星期六，q：我们要到颐和园玩，s：颐和园游人太多。 前提：p→(p∨r) , s→┐q , p , s 结论：r 证明：

① s→┐q 前提引入 ② s 前提引入 ③ ┐q ①②假言推理 ④ p 前提引入 ⑤ p→(q∨r) 前提引入 ⑥ q∨r ④⑤假言推理

⑦r ③⑥析取三段论

（2）设p:小王是理科学生，q：小王数学成绩好，r：小王是文科学生。 前提：p→q ,┐r→p ,┐q 结论：r 证明：

① p→q 前提引入 ② ┐q 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ ┐r→p 前提引入 ⑤ r ③④拒取式

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第四章 (一阶)谓词逻辑基本概念

本章自测答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:

(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解：

F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9.

(1)在两个个体域中都解释为?xF(x)，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为?xG(x)，在（a）(b)中均为真命题。

4.(1)┐x(F(x)∧ ┐G(x))?x( F (x) →G (x) ),其中,F(x)：x是有理数,G(x) ：x能表示成分数； (2)┐x( F (x) →G (x) ) ?x(F(x)∧ ┐G(x)),其中,F (x)：x在北京卖菜,G (x) ：x是外地人； (3)x( F (x) →G (x) ),其中,F (x)：x是乌鸦,G (x) ：x是黑色的； (4)xF(x)∧ G(x)),其中,F (x)：x是人,G (x) ：x天天锻炼身体。 因为本题中没有指明个体域,因而使用全总个体域。

5.(1)xy (F(x) ∧ G( y ) → H(x,y)),其中,F(x)：x是火车,G(y) ：y是轮船,H(x,y)：x比y快； (2)xy (F(x) ∧ G( y ) → H(x,y)),其中,F(x)：x是火车,G(y) ：y是汽车, H(x,y)：x比y快；

(3)┐x(F(x)∧y(G (y) → H (x,y)))?x(F(x) → y(G(y) ∧ ┐H(x,y))),其中,F(x)：x是汽车,G (y) ：y是火车,H(x,y)：x比y快； (4)┐x(F(x)→y(G(y) → H(x,y)))?xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))),其中,F(x)：x是汽车,G(y) ：y是火车,H(x,y)：x比y慢。 6.各命题符号化形式如下： (1)xy (x ．y = 0)； (2)xy (x ．y = 0)； (3)xy (y =x+1)

(4)xy(x ．y = y．x) (5)xy(x ．y =x+ y) (6)xy (x + y ＜0 )

9.(1)对任意数的实数x和y,若x ＜y,则x ≠ y； (2)对任意数的实数x和y,若x–y = 0,则x＜y； (3)对任意数的实数x和y,若x＜y,则x–y≠0； (4)对任意数的实数x和y,若x–y ＜0,则x=y. 其中,(1)(3)真值为1(2)与(4)真值为0.

11.(1)、(4)为永真式,(2)、(6)为永假式,(3)、(5)为可满足式。 这里仅对(3)、(4)、(5)给出证明。

(3)取解释I 为：个体域为自然数集合N,F(x,y)：x ≤ y,在下,xy F(x,y)为真,而xy F(x,y)也为真(只需取x =0即可),于是(3)中公式为真,取解释 为：个体域仍为自然数集合N,而F(x,y)：x = y。此时,xyF(x,y)为真(取y为x即可),可是xyF(x,y)为假,于是(3)中公式在 下为假,这说明(3)中公式为可满足式。

(4)设I为任意一个解释,若在I下,蕴涵式前件xy F(x,y)为假,则

xyF(x,y)→yxF(x,y)为真,若前件xyF(x,y)为真,必存在I的个体域D1中的个体常项0,使yF(0,y)为真,并且对于任意y∈,F(0,y)为真,由于有0∈,F(0,y)为真,所以xF(x,y)为真,又其中y是任意个体变项,所以 yxF(x,y )为真,由于I的任意性,所以(4)中公式为永真式(其实,次永真式可用第五章的构造证明法证明之)。

(5)取解释为：个体域为自然数集合,F(x,y)：x = y在下,(5)中公式为真,而将F(x,y)改为F(x,y)：x ＜ y,(5)中公式就为假了,所以它为可满足式。

xx

xxx

10. 给定解释I如下：

（a） 个体域D=N(N为自然数集合). （b） D中特定元素=2.

（c） D上函数=x+y,(x,y)=xy. （d） D上谓词(x,y):x=y.

说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值. (1) xF(g(x,a),x)

(2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)

答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.

(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0. 11. 判断下列各式的类型: