内容发布更新时间 : 2024/11/14 12:57:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
《线性代数》主干知识点归纳
一、 几组重要关系 1、若A为n阶方阵，则
A?0?r(A)?n（A是满秩矩阵）；
?A可逆（存在n阶矩阵B，使得AB?I 或 BA?I）； ?A?I（A与I等价）； ?齐次方程组Ax?0只有零解 ??b?Rn，Ax?b总有唯一解； ?A的行（列）向量组线性无关；
?A?p1p2???ps ， pi是初等阵（即：A可表示成若干个初等矩阵的乘积）； ?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A的特征值全不为0； ?ATA是正定矩阵；
?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；
注：若A?0，则否定上述各命题。如：A?0?r(A)?n。 2、矩阵的秩的性质：
①A?O?r(A)≥1；A?O?r(A)?0；0≤r(Am?n)≤min(m,n)。
②r(A)?r(A)?r(AA) （A为方阵） ③r(kA)?r(A) (k?0)
④若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） （P85推论）
TT?Er ⑤若r(A)?r?A与唯一的??OO??Er?等价，称?O??OO? ?为矩阵A 的等价标准型. （P86定理3）
O?⑥ r(AB)≤min?r(A),r(B)? （P145例6）
r(A?B)≤r(A)?r(B) （P148 ex7）
max?r(A),r(B)?≤r(A,B)≤r(A)?r(B) （P148 ex8）
⑦设n阶矩阵A、B满足AB=O，则：R(A)?R(B)?n （P153 例4）
⑧r??AO??OA??AC? （P87例7） 注：?r?r(A)?r(B)r??????r(A)?r(B)
OBBOOB??????1
3、几种特殊矩阵及其性质
（1）转置矩阵、可逆矩阵、伴随矩阵 矩阵转置的性质： (AT)T?A AT?A (AB)T?BTAT(kA)T?kAT (AB)?1?B?1A?1(kA)?1?k?1A?1 n?1(A?B)T?AT?BT (A?1)T?(AT)?1 (AT)??(A?)T 矩阵可逆的性质： (A?1)?1?AA?1?A ?1(A?B)?1?A?1?B?1 (A?1)k?(Ak)?1?A?k 伴随矩阵的性质： (AT)??(A*)T，A??A (kA)??kn?1A?， （P80 ex2） ?n 若r(A)?n ?r(A?)??1 若r(A)?n?1 ?0 若r(A)?n?1 ?AA??A?A?AI （无条件恒成立） （2）A与B等价
A?B ?A经过初等变换得到B；
?PAQ?B，P、Q可逆；
?r(A)?r(B)，A、B同型；
（3）A与B相似
A若A①
B?P?1AP?B，P为可逆矩阵 （P180定义）
B，则：
?I?A??I?B,即A,B有相同的特征值（但特征向量不一定相同）. （P180定理1）
注：两个实对称矩阵相似?有相同的特征值. （P199 例2） ②trA?trB （主对角元之和相等） （P208 思考题五ex2（2）） ③A?B 从而A,B同时可逆或不可逆 （P188 ex11） ④r(A)?r(B) ⑤ATBT；A?1B?1 （若A,B均可逆）
⑥AkBk （k为整数）；f(A)f(B)（P187 ex4） f(A)?f(B)（由③可得）
⑦AB,C?A??B?D?????（P188 ex9）
CD????TT（4）A为正交矩阵?AA?AA?I（P194）
?A的n个行（列）向量构成
n的一组标准正交基.
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正交矩阵A的性质：（P194） ①A?1?AT也为正交阵； ②A??1；
③若A、B正交阵，则AB也是正交阵；
④A为正交矩阵?A的行（列）向量组是标准正交向量组 （5）实对称矩阵的性质（P196）
① 特征值全是实数,特征向量是实向量；（P197定理1） ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；（P197定理2） 注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③实对称矩阵一定与对角矩阵相似（P定理3 ； 例1）
④实对称矩阵一定与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；（P212定理1） ⑤必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；（P216定理3） ⑥两个实对称矩阵相似?有相同的特征值.（P199 例2）
（6）A为正定矩阵?A的特征值全大于0； （P220定理3）
T?A与I合同，即存在可逆矩阵C使得CAC?I；
?A的所有顺序主子式全大于0；
①A为正定矩阵?aii?0 ； A?0.
②A为正定矩阵?A,A,A也是正定矩阵 （P220 例2，P223 ex5）. ③A与B合同，若A为正定矩阵?B为正定矩阵
④A,B为正定矩阵?A?B为正定矩阵，但AB,BA不一定为正定矩阵. （7）A与B合同 ?CTAC?B，其中C可逆
①AT?1?B?A与B合同 （即：相似一定合同、合同未必相似）；
②A与B合同?r(A)?r(B) 4、向量的线性关系 ① ② ③ ④
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）
若r维向量组线性无关，则其每个向量添上n-r个分量后组成的n维向量组也线性无关。
即：原向量组无关,加长向量组无关；（教材P140 ex10）反之：加长向量组相关,原向量组相关.（维数变动）
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