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第二章 一元线性回归分析

思考与练习参考答案

2.1 一元线性回归有哪些基本假定?

答： 假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；

假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi)=0 i=1,2, …,n Var (εi)=?2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关： Cov(Xi, εi)=0 i=1,2, …,n

假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Yi=β1Xi+εi i=1,2, …,n

误差εi（i=1,2, …,n）仍满足基本假定。求β1的最小二乘估计 解： 得：

?)2?(Y??Qe??(Yi?Y?i?1Xi)2ii?1i?1nn2.3 证明（2.27式），?ei =0 ，?eiXi=0 。

????X))2?)2??(Y?(?Q??(Yi?Yii01i11nn证明：

????X???其中： Yi01i即： ?ei =0 ，?eiXi=0

?ei?Yi?Yi?Q?0???0?Q?0???12.4回归方程E（Y）=β0+β1X的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给

出证明。

答：由于εi~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n

所以Yi=β0 + β1Xi + εi~N（β0+β1Xi , ?2 ) 最大似然函数：

?就是β0，β1的最大似然估计值。 ?，?使得Ln（L）最大的?10同时发现使得Ln（L）最大就是使得下式最小，

上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi~N(0, ?2 )

的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。

所以在εi~N(0, ?2 ) 的条件下， 参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。

?是β0的无偏估计。 2.5 证明?0nX?X1n??证明：E(?0)?E(Y??1X)?E[?Yi?X?iYi)

ni?1Lxxi?1nXi?XX?X11?E[?0??(?X)?i]??0??(?Xi)E(?i)??02.6 证明

LxxLxxi?1ni?1nn证明：

221X1X22?)?(?Var(?)? ??(?)2.7 证明平方和分解公式：SST=SSE+SSR0nnnLxx2??X?X?inn证明： i?12?)?(Y??Y]2SST???Yi?Y???[Yi?Yiii?1i?12.8 验证三种检验的关系，即验证：

??（1）t?(n?2)r1?r2?2Lxx?SSR/11；（2）F???t2 2?SSE/(n?2)?证明：（1）

（2）

1(xi?x)222.9 验证（2.63）式：Var(ei)?(1??)?

nLxx证明：

?(x?x))?Cov(y,y)?Cov(y,??(x?x))Cov(yi,y??1iii1in(x?x)1nyi)其中：?Cov(yi,?yi)?(xi?x)Cov(yi,?ini?1Li?1xx

12(xi?x)221(xi?x)22?????(?)?nLxxnLxx??22.10 用第9题证明证明：

?e?2in?2是?2的无偏估计量

2.11 验证决定系数与F值之间的关系式 证明：

2.14 为了调查某广告对销售收入的影响，某商店记录了5个月的销售收入y（万元）和广告费用x（万元），数据见表2.6，要求用手工计算： 表2.6

月份 X Y 1 1 10 2 2 10 3 3 20 4 4 20 5 5 40 （1） 画散点图（略）

（2） X与Y是否大致呈线性关系？ 答：从散点图看，X与Y大致呈线性关系。 （3） 用最小二乘法估计求出回归方程。

计算表

X 1 2 3 4 5 和15 均3 Y 10 10 20 20 40 100 均20 4 1 0 1 4 和Lxx=10 100 100 0 0 400 Lyy=600 20 10 0 0 40 和Lxy=70 6 13 20 27 34 和100 均20 （-14）2 （-7）2 0 72 142 SSR=490 （-4）2 （3）2 0 72 （-6）2 SSE=110 ????X??1?7X???回归方程为： Y01（4） 求回归标准误差

先求SSR（Qe）见计算表。 所以

????e??6.055.??0 , ? 1n（5） 给出 ? 的置信度为95%的区间估计； 23Q110? 的置信区间是 ??由于(1-?)的置信度下，(?ii查表可得 t?/2(n?2)?t0.025(3)?3.182??t??s)?t??s??,??i?2i2i所以? 1的95%的区间估计为：（7—3.182*1.915，7+3.182*1.915），即（0.906,13.094）。 所以? 0 的95%的区间估计为：（-1-3.182*6.351，-1+3.182*6.351），

??即（-21.211, 19.211）。?0的置信区间包含0，表示?0不显著。

（6） 计算x和y的决定系数

^^说明回归方程的拟合优度高。 （7） 对回归方程作方差分析

方差分析表

方差来源 SSR SSE SST 平方和 490 110 600 自由度 1 3 4 均方 490 36.667 F值 13.364