内容发布更新时间 : 2024/12/27 12:14:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

切线的性质与判定

（人教版九年级数学总复习）

复习导引 1、了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念； 2、掌握切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 3、了解切线长的定义（注意区别切线和切线长），理解切线长定理，掌握证明该定理所使用的策略和方法，再次体现圆的轴对称性；4、同时巩固圆的有关概念和重要性质，加强识图能力，结合相关图形性质的探索和证明，培养和发展推理能力，以及运用所学的知识分析问题和解决问题的能力；5、命题的题型在选择、填空、解答中均有出现。要注意知识的联系，通过类比、图形变化学习相关内容，能将实际问题转化为与圆有关的数学问题。 考点梳理 1.判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； ②圆心到直线的距离等于半径，直线是圆的切线；③直线与圆只有一个交点，直线是圆的切线. 2.性质：圆的切线垂直于过切点的半径.

3.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 4.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心. 典例探究 类型一 与切线有关的选择及填空题

1、如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2，∠APO＝30°，则⊙O的半径为____.

2、已知⊙O的面积为9π cm2

，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

3、在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )

A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离

4．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠A＝50°，则∠BOC为________度。 5、如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为________． 6．如图,PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，

则∠P的度数为( ) A．35° B．45° C．60° D．70°

7．下列四个命题：①与圆有公共点的直线是该圆的切线；②到圆心的距离等于该圆半径的直线是该圆的切线； ③垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线，其中正确的是( A．①② B．①④ C．②④ D．③④

（第1题） （第4题） （第5题） （第6题）

类型二 与切线性质有关的证明及计算

例2 如图，AB是⊙O的直径，CO⊥AB于点O，CD是⊙O的切线，切点为D.连接BD，交OC于点E.

(1)求证：∠CDE=∠CED；

(2)若AB=13，BD=12，求DE的长.

类型三 与切线判定有关的证明及计算

例3 如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点P，OP交AB于点D，

) BC、PA的延长线交于点E. (1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若sinE= ，PA=6，求AC的长.

课后练习

1、如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E. (1)求证：AC平分∠BAD；

3

(2)若sin∠BEC＝，求DC的长．

5

解：(1)连接OC，∵DC是切线，∴OC⊥DC，又∵AD⊥DC，∴AD∥OC，

∴∠DAC＝∠ACO，又OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC平分∠BAD. (2)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∠BAC＝∠BEC，∴BC＝AB·sin∠BAC＝6，

24

∴AC＝8，∴CD＝AC·sin∠DAC，∴CD＝AC·sin∠BEC＝

5

2、如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于点C，点D是半圆上位于PC左侧的点，连接BD交线段PC于点E，且PD＝PE. (1)求证：PD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为43，PC＝83，设OC＝x，PD＝y. ①求y关于x的函数关系式；②当x＝3时，求tanB的值解：(1)连接OD，证∠PDO＝90°

(2)①连接OP，OP2＝OC2＋PC2＝x2＋192， PD2＝OP2－OD2＝x2＋144，∴y＝x2＋144(0≤x≤43) CE1

②当x＝3时，y＝147，∴PD＝73，∴PE＝PD＝73，∴EC＝3，∴tanB＝＝ CB3

3、如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D，A分别作⊙O的切线交于点G，

并与AB的延长线交于点E. (1)求证：∠1＝∠2； (2)已知OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长．

(1)证明：连接OD，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，

即∠2＋∠ODC＝90°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC，∴∠2＋∠C＝90°，而OC⊥OB， ∴∠C＋∠OFC＝90°，∴∠2＝∠OFC，∵∠1＝∠OFC，∴∠1＝∠2；

(2)解：∵OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，∴OF＝1，∵∠1＝∠2，∴EF＝ED，在Rt△ODE中，OD＝3，DE＝x， 则EF＝x，OE＝1＋x，∵OD2＋DE2＝OE2，∴32＋x2＝(x＋1)2，解得x＝4，∴DE＝4，OE＝5， ∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE＝90°，而∠OED＝∠GEA，

ODDE34

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴＝，即＝，∴AG＝6

AGAEAG3＋5

2

35．