内容发布更新时间 : 2025/1/6 17:26:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计 电子与信息工程学院 自动化094 丛长龙

摘要：为实现多输入、多输出、高度非线不稳定的倒立摆系统平衡稳定控制，将倒

立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型。利用牛顿—欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。在分析的基础上，基于状态反馈控制中极点配置法对直线型倒立摆系统设计控制器。由MATLAB仿真表明采用的控制策略是有效的，设计的控制器对直线型一级倒立摆系统的平衡稳定性效果好，提高了系统的干扰能力。

关键词：倒立摆、极点配置、MATLAB仿真

引言：倒立摆是进行控制理论研究的典型试验平台，由于倒立摆本身所具有的高阶

次、不稳定、非线性和强耦合性，许多现代控制理论的研究人员一直将他视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，基于极点配置法给直线型一级倒立摆系统设计控制器

1．数学模型的建立

倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

1.1微分方程的数学模型

在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：

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倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计 电子与信息工程学院 自动化094 丛长龙

图1：直线一级倒立摆模型

设系统的相关参数定义如下： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数

l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆质量 F：加在小车上的力 x：小车位置

Φ：摆杆与垂直方向上方向的夹角

θ：摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下） 如下图2所示为小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

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倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计 电子与信息工程学院 自动化094 丛长龙

图2：小车和摆杆受力分析图

应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：

Mx?F?bx?N

??由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面的等式：

d2N?m2(x?lsin?)

dt将此等式代入上述等式中，可以得到系统的第一个运动方程：

(M?m)x?bx?ml?cos??ml?sin??F

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：

d2P?mg??m2(lcos?)

dt??????2力矩平衡方程如下：

?Plsin??Nlcos??I?

??注意：此方程中力矩的方向，由于

?????cos???cos? sin???sin?故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

(I?ml)??mglsin???mlxcos?

2????设θ=π+φ，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小时，即Φ<<1时，则可以进行如下近似处理：

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