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高等数学教学教案

第一章函数、连续与极限

授课序号01

教 学 基 本 指 标 教学课题 第一章 第一节 集合与函数 课的类型 复习、新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分教学难点 分段函数图形 段函数，三角函数性质与公式 作业布置 课后习题 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》大纲要求 理解函数的概念及性质； 理解复合函数和反函数的概念。 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 会建立简单实际问题中的函数关系式。 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 1、在本书中，我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作?. 由整数的全体构成的集合称为整数集，记为?. 用Q表示全体有理数构成的有理数集，R表示全体实数构成的实数集. 显然有??Z?Q?R. 2、集合的基本运算有四种：并、交、差、补. 特别地，若我们所讨论问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为U）中进行，集合A是U的子C集，此时称U\\A为A的余集（或补集），记作CUA或A. 3、设A,B是两个非空的集合，则由有序数对?x,y?组成的集合 A?B?{(x,y)|x?A,y?B} 1

称为A与B的直积. 4、设a和b都是实数，且a?b，数集xa?x?b称为开区间，记作?a,b?，即 ?a,b??xa?x?b. ????a和b称为开区间?a,b?的端点，其中a为左端点，b为右端点，且a??a,b?，b??a,b?. 数集xa?x?b称为闭区间，记作?a,b?，即 ?a,b??xa?x?b. ????a和b也称为闭区间?a,b?的端点，且a??a,b?，b??a,b?. 5、邻域 设a与?为两个实数，且??0，数集xx?a??称为点a的?邻域， 记作U?a,??，即 ??U?a,???xx?a??， 其中a称作U?a,??的中心，?称作U?a,??的半径. 6、基本初等函数 中学时我们已经学习过的许多函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，它们统称为基本初等函数. 我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数. 二、定理与性质： 性质1（对偶性质） 设U是一个基本集，A,B是它的两个子集，则 ??CCCC （1） ?A?B??A?B； （2） ?A?B??A?B. CC三、主要例题： 例1 函数y?C，其中C为某确定的常数. 它的定义域为D????,???，值域为W??C?，它的图形是一条平行于x轴的直线，这个函数称为常数函数. ?x,x?0例2 函数y?x??的定义域为D????,???，值域W??0,???，这个函数称为绝对值函数. ?x,x?0?

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?1,x?0?例3 函数y?sgnx??0,x?0的定义域为D????,???，值域W???1,0,1?，这个函数称为符号函??1,x?0?数. 例4 设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作?x?，函数y??x?的定义域为D????,???，值域为整数集Z，它的图形在x的整数值处，图形出现跳跃，而跃度为1，这个函数称为取整函数. ?x3,x?1,例5 函数f?x???就是一个分段函数，它的定义域D????,???. 当x????,1?时，对应?x?1,x?1的函数值f?x??x?1；当x??1,???时，对应的函数值f?x??x. 3例6 设f(x)?2,g(x)?例7 求函数y?x1，x?0,x?1，求f[g(x)],g[f(x)]和f[f(x)]. 1?xln(x2?3)的定义域. 例8 设f(x)的定义域是(0,1)，求f(sinx)的定义域.

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