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第六章 非线性微分方程
教学目的：使学生重点掌握二维自治系统奇点的分类及其附近的轨线分布；理解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov第二方法讨论自治系统的解的稳定性；了解周期解和极限环的概念．
教学内容：
1、存在唯一性定理、稳定性 2、相平面
相平面、奇点分类、按线性近似决定微分方程组的稳定性． 3、Liapunov第二方法 Liapunov第二方法． 4、极限圈 周期解、极限环．
教学重难点：奇点的分类与相应零解的稳定性 教学过程：
§6.1 稳定性
6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理
本章讨论非线性常微分方程组
dY ?G(t;Y),Y?Rn （6.1）
dt的解的性态.
设给定方程组（6.1）的初值条件为
Y(t0)?Y0， （6.2） 考虑包含点(t0,Y0)?(t0;y10,y20,?,yn0)的某区域 R:t?t0?a,Y?Y0?b. 在这里Y的范数Y定义为Y??yi?1n2i. 所谓G(t,Y)在域G上关于Y满足局部利普希
茨条件是指：对于G内任一点(t0,Y0)，存在闭邻域R?G，而G(t,Y)于R上关于Y满足利普希茨条件，即存在常数L?0，使得不等式
G(t;Y)?G(t;Y)?LY?Y （6.3） 对所有(t,Y),(t,Y)?R成立. L称为利普希茨常数.
~~~ 存在唯一性定理 如果向量函数G(t,Y)在域R上连续，且关于Y满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解Y??(t;t0,Y0)，它在区间t?t0?h上连续，而且
?(t0;t0,Y0)?Y0 这里h?min(a,b),M?maxG(t;Y).
(t,Y)?GM 解的延拓与连续定理 如果向量函数G(t,Y)在域G内连续，且关于Y满足局部利普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初值条件（6.2）的解Y??(t;t0,Y0)((t0,Y0)?G)可以延拓，或者延拓到??（或??）；或者使点(t,?(t;t0,Y0))任意接近区域G的边界. 而解
?(t;t0,Y0)作为t;t0,Y0的函数在它的存在范围内是连续的.
可微性定理 如果向量函数G(t,Y)及
?Gi(i,j1,2,?,n)在域G内连续，那么方程组?yj（6.1）由初值条件（6.2）确定的解Y??(t;t0,Y0)作为t;t0,Y0的函数，在它的存在范围内是连续可微的.
6.1.2 李雅普诺夫稳定性
考虑一阶非线性方程
dy ?Ay?By2 （6.4）
dt其中A,B为常数且A?B?0，初值条件为y(0)?y0.
为研究方程组（6.1）的特解Y??(t)邻近的解的性态，通常先利用变换
X?Y??(t) （6.6） 把方程组（6.1）化为
dX ?F(t;X)， （6.7）
dt其中
F(t;X)?G(t;Y)?d?(t)?G(t;X??(t))?G(t;?(t)). dt 此时显然有 F(t;0)?0 （6.8） 而把方程组（6.1）的特解Y??(t)变为方程组（6.7）的零解X?0. 于是，问题就化为讨论方程组（6.7）的零解X?0邻近的解的性态.
驻定微分方程常用的特解是常数解，即方程右端函数等于零时的解，如方程（6.4）的特解
y1(t),y2(t). 微分方程的常数解，又称为驻定解或平衡解.
考虑微分方程组（6.7），假设其右端函数F(t,X)满足条件（6.8）且在包含原点的域
G内有连续的偏导数，从而满足解的存在唯一性、延拓、连续性和可微性定理的条件.
定义1 如果对任意给定的??0，存在??0(?一般与?和t0有关)，使当任一X0满足X0??时，方程组（6.7）的由初值条件X(t0)?X0确定的解X(t)，对一切t?t0均有
X(t)??.
则称方程组（6.7）的零解X?0为稳定的.
如果（6.7）的零解X?0稳定，且存在这样的?0?0使当X0??0时，满足初值条件X(t0)?X0的解X(t)均有
t???limX(t)?0，
则称方程组（6.7）的零解X?0为渐近稳定的.
如果零解X?0渐近稳定，且存在域D0，当且仅当X0?D0时满足初值条件
X(t0)?X0的解X(t)均有limX(t)?0，则域D0称为（渐近）稳定或吸引域. 若稳定域
t???为全空间，即?0???，则称零解X?0为全局渐近稳定的或简称全局稳定的.
当零解X?0不是稳定时，称它是不稳定的. 即是说：如果对某个给定的??0不管
??0怎样小，总有一个X0满足X0??，使由初值条件X(t0)?X0所确定的解X(t)，
至少存在某个t1?t0使得
X(t1)??，
则称方程组（6.7）的零解X?0为不稳定的.
二维情形零解的稳定性态，在平面上的示意图如图（6.2）（见254页）
6.1.3 按线性近似决定稳定性 考虑一阶常系数线性微分方程组
dX?AX （6.10） dtli由第五章5.3的（5.52）式可知，它的任一解均可由
m?0?cimtme?it,1?i?n （6.11）