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小学+初中+高中

26.正多边形和圆

知识考点：

1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算； 2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长；

3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积； 4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。 精典例题：

【例1】如图，两相交圆的公共弦AB为23，在⊙O1

角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的

分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，的半径R3与R6的平方比即可。

解：设正三角形外接圆⊙O1的半径为R3，正六边形外径为R6，由题意得：R3?O1?BA?O2中为内接正三面积之比。

只须求出两圆

接圆⊙O2的半

例1图 3AB，R6?AB，∴R3∶R63＝3∶3；∴

⊙O1的面积∶⊙O2的面积＝1∶3。

0

【例2】已知扇形的圆心角为150，弧长为20?，求扇形的面积。

n?R21?lR，由条件n＝1500，分析：此题欲求扇形的面积，想到利用扇形的面积公式，S扇形＝3602l?20?看到，不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径，怎么求？由条件想到利用弧长公式不难

求出扇形半径。

解：设扇形的半径为R，则l＝ ∴20?＝n?R0

，n＝150，l?20? 180150?R，R?24 18011 ∴S扇形＝lR??20??24?240?。

22【例3】如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝60，求阴影部分的周长。 分析：此题欲求阴影部分的周长，须求PA、PB和AB的长，连结OA、OB，根据切线长定理得PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠，∠APO＝∠BPO＝30，在Rt△PAO中可求出PA的长，根据四边形内角和定理可得∠AOB＝120，因此可求出AB的长，从而能求出阴影部分的周长。 解：连结OA、OB

∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点 ∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠

∠APO＝

P0

0

0

??10

∠APB＝30 2AOB小学+初中+高中

例3图 小学+初中+高中

在Rt△PAO中，AP＝PO?cos30?4?OA＝

03?23 21PO＝2，∴PB＝23 200

∵∠APO＝30，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠ ∴∠AOB＝30，∴lAB??120??24??

1803?∴阴影部分的周长＝PA＋PB＋AB＝23?23?答：阴影部分的周长为(43?44?＝(43??)cm 334?)cm。 3【例4】如图，已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP∥AO交

AB于P，求AB与半圆弧及MP围成的阴影部分面积S阴。

分析：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，只有用“割补法”，连结OP。S阴?S扇AOB－S扇BMQ－S?PMO－S扇POA 解：连结OP

∵AO⊥OB，MP∥OA，∴MP∥OB 又OM＝BM＝1，OP＝OA＝2

00

∴∠1＝60，∠2＝30

B??M1Q2P3∴PM＝OP?3

2而S扇POA?OA例4图 30113?R2??，S?PMO??OM?PM? 360322设PM交半圆M于Q，则直角扇形BMQ的面积为S扇BMQ?∴S阴?S扇AOB－(S扇BMQ?S?PMO?S扇POA) ＝?R????2121?r?? 4414?1?4?31?53???＝??

?23?122探索与创新：

【问题】如图，大小两个同心圆的圆心为O，现任作小圆的三条切线分别交于A、B、C点，记△ABC的面积为S，以A、B、C为顶点的三个阴影部分的面积分别为S1、S2、S3，试判断S1?S2?S3?S是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

分析：这是一道开放性试题，所考查的结果是否为定值，我们首先应明白已知条件中有哪些定值。为此设大小圆半径分别为R和r（R和r均为定值），小圆的每条切线与大圆所夹小弓形的面积相等且为定值，设这个定值为P，如图有：

??P，S1??S2?S3?P，S1?S2??S3?P S1?S2?S3小学+初中+高中

小学+初中+高中

??S2??S3?)?3P………① ∴2(S1?S2?S3)?(S1??S2??S3?)?S??R2 又∵(S1?S2?S3)?(S1??S2??S3???R2?(S1?S2?S3)?S………② ∴S1 把②代入①得：(S1?S2?S3)?S?3P??R2（定值） ∴S1?S2?S3?S为定值，这个定值为3P??R。

2S3B?AS2O??C?S1问题图 跟踪训练：

一、选择题：

1、正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（ ）

A、

33233 B、 C、 D、 64332、如图，两同心圆间的圆环的面积为16?，过小圆上任一点P作大圆的弦AB，则PA?PB 的值是（ ） A、16 B、16? C、4 D、4? 3、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且AC为半圆的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（ ） A、S1＜S2＜S3 B、S2＜S1＜S3

C、S2＜S3＜S1 D、S3＜S2＜S1

BC?1，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的3mS3O1?P?OPAOA?S1OS2BA2B第2题图

第3题图

第4题图

4、如图，⊙O1和⊙O2外切于P，它们的外公切线与两圆分别相切于点A、B，设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，AP的长为l1，BP的长为l2，若r1?3r2，则（ ） A、l1?3l2 B、l1?2l2 C、l1???3l2 D、l1?l2 25、如图，A是半径为1的⊙O外一点，OA＝2，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为（ ） A、? B、? C、小学+初中+高中

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