内容发布更新时间 : 2024/12/23 5:11:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
好久没写过算法了，添一个吧，写一个线段树的入门知识，比较大众化。
上次在湖大，其中的一道题数据很强，我试了好多种优化都TLE，相信只能用线段树才能过。回来之后暗暗又学了一次线段树，想想好像是第三次学了，像网络流一样每学一次都有新的体会。
把问题简化一下：
在自然数，且所有的数不大于30000的范围内讨论一个问题：现在已知n条线段，把端点依次输入告诉你，然后有m个询问，每个询问输入一个点，要求这个点在多少条线段上出现过；
最基本的解法当然就是读一个点，就把所有线段比一下，看看在不在线段中；
每次询问都要把n条线段查一次，那么m次询问，就要运算m*n次，复杂度就是O(m*n) 这道题m和n都是30000，那么计算量达到了10^9；而计算机1秒的计算量大约是10^8的数量级，所以这种方法无论怎么优化都是超时 -----
因为n条线段是固定的，所以某种程度上说每次都把n条线段查一遍有大量的重复和浪费； 线段树就是可以解决这类问题的数据结构
举例说明：已知线段[2,5] [4,6] [0,7]；求点2,4,7分别出现了多少次 在[0,7]区间上建立一棵满二叉树：（为了和已知线段区别，用【】表示线段树中的线段） 【0,7】
/ \\ 【0,3】 【4,7】
/ \\ / \\
【0,1】 【2,3】 【4,5】 【6,7】
/ \\ / \\ / \\ / \\
【0,0】 【1,1】【2,2】 【3,3】 【4,4】 【5,5】 【6,6】 【7,7】 每个节点用结构体： struct line {
int left,right;//左端点、右端点
int n;//记录这条线段出现了多少次，默认为0 }a[16];
和堆类似，满二叉树的性质决定a[i]的左儿子是a[2*i]、右儿子是a[2*i+1]; 然后对于已知的线段依次进行插入操作： 从树根开始调用递归函数insert
void insert(int s,int t,int step)//要插入的线段的左端点和右端点、以及当前线段树中的某条线段 {
if (s==a[step].left && t==a[step].right) {
a[step].n++;//插入的线段匹配则此条线段的记录+1 return;//插入结束返回 }
if (a[step].left==a[step].right) return;//当前线段树的线段没有儿子，插入结束返回
int mid=(a[step].left+a[step].right)/2;
if (mid>=t) insert(s,t,step*2);//如果中点在t的右边，则应该插入到左儿子
else if (mid insert(s,mid,step*2); insert(mid+1,t,step*2+1); } } 三条已知线段插入过程： [2,5] --[2,5]与【0,7】比较，分成两部分：[2,3]插到左儿子【0,3】，[4,5]插到右儿子【4,7】 --[2,3]与【0,3】比较，插到右儿子【2,3】；[4,5]和【4,7】比较，插到左儿子【4,5】 --[2,3]与【2,3】匹配，【2,3】记录+1；[4,5]与【4,5】匹配，【4,5】记录+1 [4,6] --[4,6]与【0,7】比较，插到右儿子【4,7】 --[4,6]与【4,7】比较，分成两部分，[4,5]插到左儿子【4,5】；[6,6]插到右儿子【6,7】 --[4,5]与【4,5】匹配，【4,5】记录+1；[6,6]与【6,7】比较，插到左儿子【6,6】 --[6,6]与【6,6】匹配，【6,6】记录+1 [0,7] --[0,7]与【0,7】匹配，【0,7】记录+1 插入过程结束，线段树上的记录如下（红色数字为每条线段的记录n）： 询问操作和插入操作类似，也是递归过程，略 2——依次把【0,7】 【0,3】 【2,3】 【2,2】的记录n加起来，结果为2 4——依次把【0,7】 【4,7】 【4,5】 【4,4】的记录n加起来，结果为3 7——依次把【0,7】 【4,7】 【6,7】 【7,7】的记录n加起来，结果为1 不管是插入操作还是查询操作，每次操作的执行次数仅为树的深度——logN 建树有n次插入操作，n*logN，一次查询要logN，m次就是m*logN；总共复杂度O(n+m)*logN，这道题N不超过30000，logN约等于14，所以计算量在10^5～10^6之间，比普通方法快了1000倍； 这道题是线段树最基本的操作，只用到了插入和查找；删除操作和插入类似，扩展功能的还有测度、连续段数等等，在N数据范围很大的时候，依然可以用离散化的方法建树。 湖大的那道题目绕了个小弯子，alpc12有详细的题目和解题报告，有兴趣的话可以看看 http://www.cppblog.com/sicheng/archive/2008/01/09/40791.html 线段树的经典题目就是poj1177的picturehttp://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1177