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第二十课时 对数（1）

【学习导航】 知识网络 对数

对数的定义 对数与指数的关系对数的运算性质 对数函数及性质 底数 对数 真数 学习要求：

1. 理解对数的概念；

2. 能够进行对数式与指数式的互化；

3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。

自学评价 1． 对数定义：

一般地，如果a（a?0且a?1）的b次幂等于N, 即ab?N，那么就称b是以a为底N的对数（logarithm），记作 logaN?b，其中，a叫做对数的底数(base of logarithm)，N叫做真数(proper number)。

b着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，a?N与b?logaN所表示的是

a,b,N三个量之间的同一个关系。

2. 对数的性质：

（1） 零和负数没有对数 ， （2）loga1?0 （3）logaa?1 这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。 3. 两种特殊的对数是①常用对数：以10作底 log10

②自然对数：以e作底（为无理数）， N简记为lgN

e= 2.718 28…… ， logeN简记为lnN．

b4.对数恒等式（1）logaa?b

（2）alogaN?N

【精典范例】

例1：将下列指数式写成对数式： （1）2?16； （2）34?3?b1； 27?1?a（3）5?20； （4）???0.45．

?2?【解】

1??3 27（3）log520?a （4）log10.45?b

（1）log216?4 （2）log32例2：．将下列对数式写成指数式：

（1）log5125?3； （2）log13??2； （3）lg0.01??2； （4）ln10?2.303．

3【解】

（1）5?125 （2）(31?2)?3 3（3）10?2?0.01 （4）e2.303?10

点评: 两题的关键是抓住对数与指数幂的关系进行变换 例3：．求下列各式的值：

log31⑴log264； ⑵log2； (3)lg10000；（4）327； （5）log(2?1613)(2?3)

分析：根据对数的概念，将对数式还原成指数式即可得出（1）（2）（3）（5），（4）用对数的恒等式 【解】

（1） 由2?64，得log264?6 （2） 由2?46?11，得log2??4 1616（3） 由10?10000，得lg10000?4

log31274（4）3?1 27（5）log(2?3)(2?3)??1

点评: 利用对数恒等式alogaN?N(a?0且a?1，N?0)，应用此公式时，一定要注意公

式的结构，当指数的底和对数的底是同一个数时，能用此公式化简。

追踪训练一

1.将3?243化为对数式 2.将lga?0.4771化为指数式 3.求值：（1）log381 （2）log0.451 答案：1. log3243?5

52.100.4771?a

3.(1)4 (2)0

【选修延伸】

一、对数式与指数式 关系的应用 例4:计算： ①log927，② log354625．

【解】解：①设x?log则 9x?27， 32x?33, ∴x?33927 2 ∴log927?2

②方法同① log354625?3

例5：求 x 的值：

①log33x??4；

②log2?2?1??3x?2x?1??1．

??2x??③log3x3??5 【解】

?3① x?34 ②3x2?2x?1?2x2?1?x2?2x?0

?2x2?1?0?x?0,x??2但必须：??2x2?1?1 ， ∴x?0舍去 ，从而x??2．

??3x2?2x?1?0③x?35?3?(3?53)?35 ∴x?3?53。

点评:本题的关键是根据对数的概念，将对数式还原成指数式，但要注意对数式中底数和真数的取值要求。 思维点拔：

要明确a,b,N在对数式与指数式中各自的含义，在指数式ab?N中，a是底数，b是指数，

N是幂；在对数式b?logaN中，a是对数的底数，N是真数，b是以a为底N的对数，虽

然a,b,N在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求对数logaN就是求ab?N中的指数，也就是确定a的多少次幂等于N。

追踪训练二

求下列各式中的x的值： ⑴logx9=2；⑵lgx2= -2； ⑶log2[log2(log2x)]=0

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