内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:01:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第八节 直线与圆锥曲线的位置关系

【考纲解读】

考 点 考纲内容 5年统计 分析预测 1.考查直线与椭圆的位置关系； （1）会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系直线与圆锥曲线 的问题。 (2) 了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法。 （3）理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想。了解圆锥曲线的简单应用。 2015?浙江文19；理19； 2016?浙江文19；理19； 2017?浙江21. 2013?浙江文22；理15,21； 2014?浙江文17,22；理21； 2.考查直线与抛物线的位置关系； 3.考查直线与圆、圆锥曲线的综合问题. 4.备考重点： (1)掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质； （2）熟练掌握常见直线与圆锥曲线位置关系题型的解法； （3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题. 【知识清单】

1.直线和圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．

??Ax＋By＋C＝0，

即?

?Fx，y＝0，?

消去y，得ax＋bx＋c＝0.

2

2

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0?直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切； Δ<0?直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 对点练习：

【2018届衡水金卷全国高三大联考】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知

1

抛物线y2?4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M?3,1?射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则?ABM的周长为 ( ) A.

7183?26 B. 9?26 C. 9?10 D. ?26 1212【答案】B

AB?xA?xB?p?25. 4将x?4代入y2?4x得y??4，故B?4,?4?. 故MB??4?3????4?1??26. ??1?25?26??9?26. ?4?422故?ABM的周长为MA?MB?AB??3?故选B. 2.“弦”的问题 1.弦长公式

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝1＋k|x1－x2|＝1＋k·＝

1

1＋2·22x1＋x2

2－4x1x2＝

1

1＋2·|y1－y2|

kky1＋y2

2

－4y1y2.

2．处理中点弦问题常用的求解方法 (1)．点差法：

即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． (2)．根与系数的关系：

即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．

y1－y2

三个未知x1－x2

2

注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． 对点练习：

【2018届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】如图，过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若点F是AC的中点，且AF?4，则线段AB的长为（ ）

A. 5 B. 6 C. 163 D. 203 【答案】C

【解析】如图：过点A作AD?l交l于点D.

AF: y?3?x?1?.与抛物线y2?4x联立得： 3x2?10x?3?0.

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