内容发布更新时间 : 2024/5/5 4:47:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第1届）

1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数．

2. 设(x?(2x?1))?(x?(2x?1))?A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：

(a) A=2；(b)A=1；(c)A=2．

3. a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程

a cos2x + b cos x + c = 0，

试用a，b，c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样．当a=4，b=2，c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式．

4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值． 5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N．

(a.) 求证 AF、BC相交于N点；

（b.) 求证：不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S； (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹．

6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点， C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上．试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上．

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