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2019年
第1讲 三角函数的图象与性质
[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．
热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝
y(x≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． xπsin α??22
2．同角基本关系式：sinα＋cosα＝1，＝tan α?α≠kπ＋，k∈Z?.
2cos α??3．诱导公式：在
kπ
2
＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
例1 (1)(2018·资阳三诊)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，π??1)，则tan?2α＋?等于( )
4??11
A．－7 B．－ C. D．7
77答案 A
解析 由角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，
y1
可得x＝2，y＝1，tan α＝＝，
x2
2tan α14
∴tan 2α＝＝＝， 2
1－tanα13
1－4
π4
＋1
43π??∴tan?2α＋?＝＝＝－7.
4?π4?
1－tan 2αtan 1－×1
43
tan 2α＋tan
(2)(2018·衡水金卷信息卷)已知曲线f(x)＝x－2x－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos?－2cosα－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( ) 8442
A. B．－ C. D．－ 5533答案 A
解析 由f(x)＝x－2x－x可知f′(x)＝3x－4x－1，
3
2
2
2
3
2
2
?π＋α?
?
?2?
2019年
∴tan α＝f′(1)＝－2，
?2?π2
cos?＋α?－2cosα－3sin(2π－α)cos(π＋α)
?2?
＝(－sin α)－2cosα－3sin αcos α ＝sinα－2cosα－3sin αcos α
sinα－2cosα－3sin αcos αtanα－3tan α－2＝＝ 222
sinα＋cosαtanα＋1＝
4＋6－28＝. 55
2
2
2
2
22
2
思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．
(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
跟踪演练1 (1)(2018·合肥质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P?sin sin(π＋α)等于( ) A．－3113 B．－ C. D. 2222
?
?
5π5π?，cos ?，则33?
答案 B
解析 由诱导公式可得， sin cos
π?5ππ3?＝sin?2π－?＝－sin ＝－，
3?332?π?5ππ1?＝cos?2π－?＝cos ＝， 3?332?31?
，?， 22?
即P?－
??
由三角函数的定义可得，
1＝，
3?2?1?22?
?－?＋?2??2???
12
sin α＝
1
则sin(π＋α)＝－sin α＝－.
2
?π?sin?π－α?－4sin?＋α??2??3π?(2)(2018·衡水金卷调研卷)已知sin(3π＋α)＝2sin?＋α?，则等于
5sin?2π＋α?＋2cos?2π－α??2?
( )
1111
A. B. C. D．－ 2366
2019年
答案 D
解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin?
?3π＋α?，
?
?2?
∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，
?π?sin?π－α?－4sin?＋α?
sin α－4cos α?2?
则＝ 5sin?2π＋α?＋2cos?2π－α?5sin α＋2cos α＝
2cos α－4cos α－21
＝＝－.
10cos α＋2cos α126
热点二 三角函数的图象及应用 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：
π3π
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．
22(2)图象变换：
向左?φ>0?或向右?φ<0?
(先平移后伸缩)y＝sin x――――――――――→ 平移|―φ|―个单位长度
y＝sin(x＋φ)
1
横坐标变为原来的?ω>0?倍
ω―――――――――――――→ y＝sin(ωx＋φ) 纵坐标不变纵坐标变为原来的A?A>0?倍
―――――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)． 横坐标不变1
横坐标变为原来的?ω>0?倍
ω(先伸缩后平移)y＝sin x――――――――――→ 纵坐标不变向左?|φ>0?或右?φ<0?φ|y＝sin ωx平移―――――――→y＝sin(ωx＋φ) 个单位长度
ω纵坐标变为原来的A?A>0?倍――――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)． 横坐标不变