内容发布更新时间 : 2024/5/7 19:45:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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?2?1?1??x1???3???????0??x2???3???12?3????03????x3??12?与

?2?1?1??x1??3?????????120??x2???1??30????3????x3??12???3???b1??3??12????3???b2??1??12???

解：记

?2?1?1???A???120??303???，则原方程组

可表示为

AX1?b1,AX2?b2

对A作LU分解有 （4分） 记UX1???1??2?1?1??2?1?1??????131???A???120???1?????LU??22??303??2?5??????3?11???2?

?Y1，解得。

3??Y1???315?2??T，求解UX1?Y1，得

X1??123?记UX2?Y2，解得Y25????35?2??，求解UX2?Y2，解得

X2??321?。 （8分）

?8?32??x1??20????????411?1??x2???33??6312??x??36????3???三、综合计算题（每题16分，共16分） １、 设有线性方程组试求

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（1）给出解线性方程组的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代矩阵

（2）判断解线性方程组的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的收敛性；

（3）选取收敛速度较快的一种迭代方法，取

X0??1,1,1?T进行四次迭代计算

解：（1）分别记Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代矩阵为J,G，则

31???0?84??41?J???0?1111??1?10??24???2.5000???fJ??3.0000??3.0000???

?2.5000???fG??2.0909??1.2273??? （6分）

0.375-0.25??0??G??0-0.136360.181818??0-0.153410.079546???

（2）系数矩阵是严格对角占优的，因此Jacobi迭代、G-S迭代都是收敛的。 （10分） （3）

?J?0.30821?J2的三个特征值为：?0.1541?0.3245i??0.1541?0.3245i

JJ3 因此J的谱半径为??J??0.3592

G的三个特征值为