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第四节 因式分解与分式

年份 2016 2015 河北五年中考命题规律 题号 考查点 考查内容 分值 总分 2017年未考查 考查两个分式4 3 3 分式的计算 的运算 考查分式化简18 3 3 分式化简求值 求值 含两项，考查同分母分式的7 3 3 分式化简 减法运算，含有一个字母 给出四个选项，判断变形4 2 因式分解 属于因式分解的是哪一项 含三项，涉及分式的加法、除法运算，含18 3 5 分式化简求值 有两个字母，利用整体代入思想求值 纵观河北近五年中考，因式分解及分式每年都有所涉及，特别是分式的化简求值，只有2017年未考，都属基础题，3～5分不等，填空、选择、解答三种题型都有，其中因式分解考查了1次，分式化简求值考查了4次. 2014 2013 命题规律 河北五年中考真题及模拟)

因式分解

1．(2013河北中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D ) A．a(x－y)＝ax－ay

B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)

2．(2015唐山路北二模)下列各因式分解正确的是( D ) A．x2＋2x－1＝(x－1)2

B．－x2＋(－2)2＝(x－2)(x＋2) C．(x＋1)2＝x2＋2x＋1 D．x3－4x＝x(x＋2)(x－2)

3．(2017邢台中考)分解因式：x3－4x＝__x(x－2)(x＋2)__．

4．(2016邯郸十一中模拟)分解因式：ab4－4ab3＋4ab2＝__ab2(b－2)2__． 分式化简求值

5．(2016河北中考)下列运算结果为x－1的是( B )

x2－1x1

A．1－ B.·

xxx＋1x＋11x2＋2x＋1C.÷ D. xx－1x＋1

x2x

6．(2014河北中考)化简：－＝( C )

x－1x－1

x

A．0 B．1 C．x D.

x－1

x＋yy3

7．(2017保定中考模拟)若＝，则的值为( D )

x4x

457

A．1 B. C. D.

744

a2－b238．(2015河北中考)若a＝2b≠0，则2的值为____．

2a－ab

2xy＋y2?x＋y?9．(2013河北中考)若x＋y＝1，且x≠0，则x＋÷的值为__1__． x?x?

10．(2016唐山路北二模)先化简再求值：

?x－3x?÷x－2，其中x满足x2＋x－2＝0. ?x＋1?x2＋2x＋1

x（x＋1）－3x（x＋1）2

解：原式＝·

x＋1x－2

x（x－2）（x＋1）2＝· x＋1x－2＝x(x＋1) ＝x2＋x，

∵x2＋x－2＝0，

∴x2＋x＝2，∴原式＝2.

中考考点清单

分解因式的概念

1．把一个多项式化成几个__整式__的__积__的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．

因式分解

2．分解因式与整式乘法的关系：多项式__整式乘法__整式的积． 分解因式的基本方法

3．提公因式法：ma＋mb＋mc＝__m(a＋b＋c)__． 4．运用公式法：

(1)平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__． (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__． 【方法点拨】因式分解的一般步骤：

(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；

(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式；

(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．

分式的有关概念

A5．分式：形如____(A，B是整式，且B中含有__字母__，B≠0)的式子叫分式，其中A叫分子，B叫分母．

B6．与分式有关的“五个条件”的字母表示：

A

(1)分式无意义时，B__＝0__；

BA

(2)分式有意义时，B__≠0__；

BA

(3)分式的值为零时，A__＝0__且B__≠0__；

B

???A>0，?A<0，A

?(4)分式的值为正时，A，B__同号__，即或?

B?B ＞ 0??B ＜ 0；?

???A>0，?A<0，A

?(5)分式的值为负时，A，B__异号__，即或?

B?B ＜ 0??B ＞ 0.?

7．最简分式：分子与分母没有__公因式__的分式． 8．有理式：__整式__和__分式__统称为有理式．

分式基本性质

a×maa÷ma9.＝____，＝____(m≠0)． b×mbb÷mb10．通分的关键是确定几个分式的__最简公分母__，约分的关键是确定分式的分子、分母的__最大公因式__．

分式运算

bcb±cbdbc±ad11.±＝____；异分母分式加减通过通分转化为__同分母分式__加减，即±＝. aaaacac

a?nbdbdbdbcan?12.×＝____，÷＝____，?b?＝__n__. acacacadb13．分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算__乘方__，再算__乘除__，最后进行__加减运算__，遇到括号，先算__括号里面的__．分式运算的结果要化成整式或最简分式．

【方法技巧】分式化简求值题的一般步骤：

(1)若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；

(2)若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋”“－”就只有“×”或“·”，简称：除法变乘法；

(3)利用因式分解、约分进行分式乘法运算；

(4)最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式；

(5)将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义(即使原分式分母不为0)．

,中考重难点突破)

因式分解

【例1】(1)(菏泽中考)将多项式ax2－4ax＋4a分解因式，下列结果中正确的是( A ) A．a(x－2)2 B．a(x＋2)2 C．a(x－4)2 D．a(x＋2)(x－2) (2)(郴州中考)分解因式：2a2－2＝________.

【解析】有公因式的先提公因式，然后考虑套公式，最后注意要分解到不能再分解为止． 【答案】(1)A；(2)2(a＋1)(a－1)

1．下列因式分解错误的是( B ) A．x2－y2＝(x＋y)(x－y) B．x2＋y2＝(x＋y)2 C．x2＋xy＝x(x＋y) D．x2＋6x＋9＝(x＋3)2

2．(2017邢台中考模拟)分解因式x(x＋4)＋4的结果是__(x＋2)2__．

分式的概念及其基本性质

3

【例2】(1)(衡阳中考)如果分式有意义，则x的取值范围是( A )

x－1

A．全体实数 B．x≠1 C．x＝1 D．x>1

x2－1

(2)(2017海南中考)若分式的值为0，则( A )

x－1

A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝±1

【解析】(1)分母不为0，分式有意义；(2)分式的值为0时，分子为0且分母不为0. 【答案】(1)B；(2)A

x

3．(2017大庆中考)使分式有意义的x的取值范围是( D )

2x－1

11A．x≥ B．x≤ 2211

C．x＞ D．x≠ 22

x－1

4．(2017温州中考)若分式的值为零，则x的值是( B )

x＋2

A．0 B．1 C．－1 D．－2

分式化简求值

【例3】(2017资阳中考)先化简，再求值： ?21－21?÷2，其中x＝1. ?x－2xx－4x＋4?x2－2x

【解析】先把分母分解因式，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【答案】

x（x－2）11

解：原式＝[－ 2]×2x（x－2）（x－2）

x（x－2）x（x－2）11

＝×－ 2×22x（x－2）（x－2）1x＝－ 22（x－2）

x－2x

－ 2（x－2）2（x－2）1＝， 2－x

当x＝1时，

1

原式＝＝1.

2－1＝

x2y2

5．(2017杭州中考)化简－的结果是( A )

y－xy－x

A．－x－y B．y－x C．x－y D．x＋y

ab?a＋b

6．(2017黄冈中考)计算??b－a?÷a的结果为( A ) a－ba＋bA. B.

bba－ba＋bC. D. aa

2ab－b2?a－b?7．计算a－÷的结果是__a－b__． a?a?

8．(苏州中考)先化简，再求值：

2?x2－2x＋1?1－÷?x＋1?，其中x＝3. x2＋x

（x－1）2x－1

解：原式＝÷

x（x＋1）x＋1

（x－1）2x＋1＝· x（x＋1）x－1x－1＝，

x

当x＝3时，

3－13－3

原式＝＝.

33

x－2x－21

9．(2017河北中考模拟)先化简：2－2÷，再从0，1，2，3中选取一个合适的数作为x的值

x－xx－2x＋1x－1

代入求值．(简要说明选这个数的理由)

x－2x－11

解：原式＝2－· x－x（x－1）2x－211＝－ x（x－1）x－11－x＝ x（x－1）1＝－，

x

当x＝0，1，2时，原式无意义，所以取x＝3，

3

当x＝3时，原式＝－.

3